속도 제어기 설계, 철도 추진 전동기 PI 이득과 대역폭 계산 1편

이 글은 속도 제어기 설계, 철도 추진 전동기 PI 이득과 대역폭 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 철도 추진 부하 특성과 회전 운동방정식 모델링, 이중 루프 캐스케이드 구조와 속도 대역폭 분리, 속도 PI 제어기 이득 수식 유도와 200kW급 전동기 계산을 다룹니다.

철도 추진 전동기 속도 제어기의 이중 루프 캐스케이드 구조와 대역폭 분리 원칙, 200kW급 PI 이득 계산 및 안티와인드업 설계 과정을 종합적으로 나타낸 개념도입니다.

철도 추진 부하 특성과 회전 운동방정식 모델링

철도 차량용 대용량 전동기 구동 시스템은 수십 톤에서 수백 톤에 달하는 차량의 질량을 가속하고 감속해야 하므로 일반 산업용 서보 드라이브와 비교하여 기계적 등가 관성 모멘트가 대단히 큰 구조입니다. 전동기 회전자 자체의 관성뿐만 아니라 감속 기어비와 차륜 반경을 통해 전동기 축으로 환산되는 차체 유효 질량이 전체 관성의 대부분을 차지합니다. 이러한 기계계의 동특성을 정확하게 수식으로 정식화하는 과정은 안정적인 속도 제어기를 설계하기 위한 첫 번째 단계입니다.

전동기 축에서 발생하는 전자기적 출력 토크와 부하 토크, 점성 마찰 토크 사이의 관계는 뉴턴의 회전 운동방정식을 통해 정확하게 설명할 수 있습니다.

J \cdot \dot{ω_{m}} = T_{e} - T_{L} - B \cdot ω_{m}

(1)

식 (1)에서 J는 전동기 축으로 환산된 전체 등가 관성 모멘트이며 단위는 kg·m^2입니다. dot(ω_m)은 전동기 기계적 각가속도이고, T_e는 전동기가 발생시키는 전자기적 토크입니다. T_L은 주행 저항 및 구배 저항에 의한 부하 토크이며, B는 점성 마찰 계수입니다.

대용량 철도 추진 시스템에서는 가속 및 감속 시 발생하는 토크와 부하 토크의 크기가 기계적 점성 마찰 토크보다 훨씬 큰 특성을 지니고 있습니다. 따라서 제어기 설계 단계에서는 해석의 복잡성을 줄이고 보수적인 위상 여유를 확보하기 위해 점성 마찰 계수 B를 0으로 근사합니다. 이를 라플라스 변환하여 정리하면 기계계 플랜트의 전달함수를 도출할 수 있습니다.

G_{p} (s) = \frac{ω_{m} (s)}{(T_{e} (s) - T_{L} (s))} = \frac{1}{(J \cdot s)}

(2)

식 (2)와 같이 기계계 플랜트는 순수 적분기 형태로 모델링할 수 있습니다. 주파수 영역에서 이 플랜트는 주파수가 증가함에 따라 이득이 -20dB/dec로 감소하고 위상이 -90° 지연되는 특성을 갖습니다. 따라서 속도 제어기는 이 적분 특성을 고려하여 목표 대역폭에서 충분한 위상 여유를 확보하도록 설계되어야 합니다.

이중 루프 캐스케이드 구조와 속도 대역폭 분리

전동기 구동 시스템의 고성능 제어를 달성하기 위해 널리 사용되는 구조는 전류 제어기를 내부에 두고 속도 제어기를 외부에 배치하는 이중 루프 캐스케이드 구조입니다. 내부 전류 루프는 인버터 스위칭을 통해 전동기 고정자 전류를 신속하게 제어하여 토크를 발생시키며, 외부 속도 루프는 속도 오차를 바탕으로 필요한 토크 지령을 연산하여 전류 제어기로 전달합니다.

이러한 캐스케이드 제어계가 상호 간섭 없이 안정적으로 동작하기 위해서는 두 제어 루프 간의 주파수 응답 대역폭 분리가 필수적입니다. 전류 루프의 응답 속도가 속도 루프보다 충분히 빠르지 않으면, 속도 제어기의 출력이 변할 때 전류가 즉각 추종하지 못하여 위상 지연이 발생하고 제어계 전체가 진동할 위험이 있습니다. 일반적인 전동기 구동 시스템에서는 속도 루프 대역폭을 전류 루프 대역폭의 1/10 이하로 설정합니다.

ω_{sc} \leq \frac{1}{10} \cdot ω_{cc}

(3)

식 (3)에서 ω_cc는 전류 제어 루프의 대역폭이며, ω_sc는 속도 제어 루프의 대역폭입니다. 두 값의 단위는 모두 rad/s입니다.

대역폭 분리 조건이 만족되면 속도 제어기의 관점에서는 내부 전류 루프의 동특성을 시정수가 매우 작은 이상적인 단위 이득으로 근사할 수 있습니다.

G_{ci} (s) = \frac{T_{e} (s)}{T_{e ref}} (s) \approx 1

(4)

식 (4)와 같이 전류 제어 루프의 전달함수를 1로 간략화하면, 속도 제어기는 전류 제어기의 세부적인 전기적 시정수에 구애받지 않고 순수한 기계계 플랜트 모델만을 대상으로 독립적인 PI 이득 설계를 진행할 수 있습니다.

속도 PI 제어기 이득 수식 유도와 200kW급 전동기 계산

속도 제어기로 가장 널리 사용되는 비례-적분(PI) 제어기는 정상상태 속도 오차를 제거하고 외란에 대한 복원력을 제공합니다. 속도 PI 제어기의 전달함수는 비례 이득 K_p와 적분 이득 K_i를 사용하여 다음과 같이 정의합니다.

C_{v} (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s} = \frac{K_{p} \cdot (s + ω_{i})}{s}

(5)

식 (5)에서 ω_i는 제어기 영점 주파수이며 식 (6)과 같습니다. 식 (2)의 기계계 플랜트와 식 (5)의 속도 제어기를 결합한 속도 제어 개루프 전달함수는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

ω_{i} = \frac{K_{i}}{K_{p}}

(6)

L_{v} (s) = C_{v} (s) \cdot G_{p} (s) = \frac{K_{p} \cdot (s + ω_{i})}{(J \cdot s^{2})}

(7)

목표 속도 대역폭 ω_sc에서 개루프 이득의 크기가 1이 되도록 설정하여 이득 교차주파수를 일치하도록 설정합니다. 대역폭 주파수 영역에서 영점의 영향이 충분히 작다고 가정하면 비례 이득 산출식을 도출할 수 있습니다.

K_{p} = J \cdot ω_{sc}

(8)

적분 이득은 제어계의 위상 여유를 확보하기 위해 영점 주파수 ω_i를 목표 대역폭의 1/5 지점에 배치하여 결정합니다. 영점을 교차주파수에 너무 가깝게 배치하면 위상 지연은 줄어들지만 오버슈트가 증가하며, 너무 낮게 배치하면 적분 동작의 응답이 정정 시간을 늘리기 때문입니다.

K_{i} = K_{p} \cdot ω_{i} = \frac{1}{5} \cdot J \cdot ω_{sc}^{2}

(9)

도출된 이득을 적용한 속도 폐루프 전달함수는 다음과 같습니다.

T_{v} (s) = \frac{(K_{p} \cdot s + K_{i})}{(J \cdot s^{2} + K_{p} \cdot s + K_{i})}

(10)

이제 200kW급 철도 추진 전동기 시스템을 대상으로 실제 수치를 대입하여 계산을 진행합니다. 전동기 축 환산 전체 등가 관성 모멘트 J는 2.5 kg·m^2이고, 인버터의 스위칭 주파수를 고려한 전류 루프 대역폭 ω_cc는 1000rad/s(약 159Hz)로 설정합니다. 대역폭 1/10 분리 원칙에 따라 목표 속도 대역폭 ω_sc는 100rad/s(약 15.9Hz)로 선정합니다.

식 (8)에 따라 비례 이득을 계산하면 K_p 값은 250 N·m·s/rad으로 산출할 수 있습니다. 제어기 영점 주파수는 식 (11)의 계산을 통해 20rad/s로 결정합니다. 식 (9)에 따라 적분 이득을 계산하면 K_i 값은 5000 N·m/rad으로 도출할 수 있습니다.

ω_{i} = \frac{100}{5} = 20 rad / s

(11)

폐루프 특성방정식 식 (12)에서 고유진동수는 약 44.72rad/s이며 감쇠비는 약 1.118입니다. 감쇠비가 1보다 큰 과감쇠 상태로 설계되어 계단 속도 지령 입력 시 오버슈트가 발생하지 않으므로 승차감과 기계적 충격 억제에 매우 적합합니다.

s^{2} + 100 \cdot s + 2000 = 0

(12)

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

철도 추진 부하 특성과 회전 운동방정식 모델링

이중 루프 캐스케이드 구조와 속도 대역폭 분리

속도 PI 제어기 이득 수식 유도와 200kW급 전동기 계산

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