속도 제어기 설계, 철도 추진 전동기 PI 이득과 대역폭 계산 2편

이 글은 속도 제어기 설계, 철도 추진 전동기 PI 이득과 대역폭 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 부하 토크 외란 응답과 안티와인드업 설계, 맺음말을 설명합니다.

철도 추진 전동기 속도 제어에서 부하 토크 외란(T_L = 500 N·m) 응답과 토크 한계(T_max) 포화 시 발생하는 적분 와인드업 문제를 해결하기 위한 역계산 안티와인드업 구조 및 제어 특성을 비교하여 나타낸 개념도입니다.

부하 토크 외란 응답과 안티와인드업 설계

철도 차량이 주행할 때는 평탄선 주행 저항뿐만 아니라 급격한 오르막 구배 진입이나 곡선 구간 통과로 인해 큰 부하 토크 외란 T_L이 인가될 수 있습니다. 외란 토크에 대한 전동기 속도 변동의 전달함수는 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

\frac{ω_{m} (s)}{T_{L}} (s) = \frac{-}{s}

(13)

식 (13)에서 분자에 s가 존재하므로, 계단 형태의 일정한 부하 토크인 식 (14)가 인가될 때 최종값 정리를 적용하면 정상상태 속도 오차를 계산할 수 있습니다.

T_{L} (s) = \frac{T_{L}}{s}

(14)

e_{ss} = \lim_{s \to 0} s \cdot \frac{s}{(J \cdot s^{2} + K_{p} \cdot s + K_{i})} \cdot \frac{T_{L}}{s} = 0

(15)

식 (15)와 같이 적분기의 작용으로 인해 정상상태 속도 오차는 완전히 0으로 수렴합니다. 부하 외란이 인가되는 순간 발생하는 과도 속도 강하의 최댓값은 근사적으로 비례 이득에 반비례하는 관계를 갖습니다.

Δ_{ω \max} \approx \frac{T_{L}}{K_{p}}

(16)

식 (16)에 따르면 비례 이득 K_p가 클수록 외란에 의한 속도 변동을 효과적으로 줄일 수 있습니다. 앞선 예제에서 500 N·m의 급격한 구배 부하가 인가될 때 순간 속도 강하는 약 2rad/s(약 19.1rpm) 수준으로 억제할 수 있습니다.

그러나 급가속이나 급경사 구간에서 속도 제어기의 출력 토크 지령이 인버터의 최대 허용 전류 또는 전동기 정격 토크 한계값 T_max를 초과하여 포화되는 상황이 발생할 수 있습니다. 출력이 포화된 상태에서 속도 오차가 지속되면 적분기 내부에 오차가 계속 누적되는 적분 와인드업(Integrator Windup) 현상이 발생합니다. 이로 인해 지령 속도에 도달한 후에도 과도한 오버슈트와 긴 정정 시간이 유발될 수 있습니다.

이를 방지하기 위해 역계산(Back-calculation) 방식의 안티와인드업 구조를 필수적으로 구현해야 합니다. 포화기 통과 전의 토크 지령과 포화 후의 실제 토크 지령 차이를 적분기에 궤환하여 적분 누적을 억제합니다.

\dot{x_{i}} = e_{v} + \frac{1}{K_{aw}} \cdot (T_{e sat} - T_{e cmd})

(17)

식 (17)에서 e_v는 속도 오차이고, T_e_cmd는 제어기 연산 토크이며, T_e_sat는 리미터를 통과한 실제 제한 토크입니다. K_aw는 안티와인드업 추종 이득으로 통상 비례 이득 K_p와 동일하게 설정하여 포화 발생 시 즉각적으로 적분기 적분을 중단하도록 설계합니다.

맺음말

본 글에서는 철도 추진용 200kW급 전동기 구동 시스템을 대상으로 기계계 모델링부터 대역폭 분리, 속도 PI 제어기 이득 산출 및 안티와인드업 설계까지의 전 과정을 체계적으로 살펴보았습니다. 도출된 주요 설계 기준값과 파라미터는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

등가 관성 모멘트 J는 2.5 kg·m^2이며, 내부 전류 루프 대역폭은 1000rad/s입니다. 대역폭 1/10 분리 기준을 적용한 목표 속도 대역폭은 100rad/s입니다. 이를 바탕으로 계산된 속도 PI 제어기의 비례 이득 K_p는 250 N·m·s/rad이며, 영점 주파수 20rad/s를 적용한 적분 이득 K_i는 5000 N·m/rad입니다. 이로써 오버슈트가 없는 감쇠비 1.118의 안정적인 과감쇠 응답 특성을 확보하였습니다.

철도 현장 실무에서 제어기를 적용할 때는 다음 세 가지 요소를 반드시 유의해야 합니다.

첫째, 승객 탑승 인원에 따라 전체 등가 관성 모멘트 J가 20%에서 40%까지 변동합니다. 관성이 증가하면 실제 속도 대역폭이 감소하여 응답이 둔화되므로 최악 조건에서도 안정도가 유지되는지 사전에 검증해야 합니다.

둘째, 차륜과 레일 사이의 마찰력 저하로 발생하는 공전(Slip) 현상입니다. 공전이 발생하면 차체 질량이 전동기 축에서 분리되면서 등가 관성이 급감하여 회전 속도가 급증합니다. 이때 과도한 미분 킥과 적분 와인드업을 방지하기 위해 공전 검출 시 토크 지령을 즉각 저감하는 재점착 제어 로직과의 연동이 필수적입니다.

셋째, 대용량 추진 인버터의 낮은 스위칭 주파수로 인한 디지털 샘플링 지연입니다. 1kHz 미만의 낮은 샘플링 환경에서는 위상 여유가 감소하므로 지연 시간을 고려한 추가적인 위상 보상이 수반되어야 합니다.

이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 프리차지와 소프트 스타트, 드론 전자 변속기 돌입 억제 저항 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=240

이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.

부하 토크 외란 응답과 안티와인드업 설계

맺음말

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