z 변환 표와 정리, 5kW 연료전지 전력 변환 이산 응답 해석 2편

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이 글은 z 변환 표와 정리, 5kW 연료전지 전력 변환 이산 응답 해석 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 이산 전달함수 계산 예제, 맺음말을 설명합니다.

ZOH 이산화 극점 매핑 안정 검증 계단 지령 U(z) 인가 정리 검증 1단계: 연속 플랜트 & ZOH G(s)=100/(s+100), Ts=100μs u[k] 샘플러 ZOH 영차홀드 G(s) 연속계 y(t) τ = 0.01s, K = 1 (5kW 플랜트) 이산화 전달함수 유도 식 (11): G(z) = (1 – z⁻¹) Z{G(s)/s} 계수 계산 (a·Ts = 0.01): 지수 항 및 분자 산출: e^-aTs = e^-0.01 = 0.99005 분자: 1 – 0.99005 = 0.00995 도출된 이산 전달함수 식 (12): G(z) = 0.00995 / (z – 0.99005) 5kW 전력변환 전류 루프 모델 2단계: 복소 z 평면 & 극점 배치 단위원 내부: |z| < 1 검증 Re Im 0 -1 z = 0.99005 단위원 (|z| = 1) 안정도 판별 조건: |z| = 0.99005 < 1 (내부 위치) → 이산계 점근적 안정 만족 실무 설계 핵심 기준: 1. 단위원 내부 극점 확인 필수 2. Ts 단축 시 z = 1.0 극점 밀집 – 고정소수점 양자화 발진 유의 – 부동소수점/스케일링 권장 3. DSP 1샘플 연산지연 위상보상 3단계: 정리 검증 & 이산 응답 초기값 y[0]=0, 최종값 y_ss=1.0 1.0 0 초기값 y[0]=0 k (샘플) y[k] 지령 r=1.0 초기값 정리 검증 식 (8): y[0] = lim z→∞ Y(z) = 0 → 계단 인가 직후 0에서 상승 최종값 정리 검증 식 (14): y_ss = lim z→1 (z – 1) Y(z) = 0.00995 / (1 – 0.99005) = 0.00995 / 0.00995 = 1.0 수렴 특성 및 오차 검증: 정상상태 오차 e_ss = 0 완전 수렴
5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 전류 제어 플랜트(τ = 0.01 s)에 영차 홀드(ZOH, T_s = 100 μs)를 적용하여 도출한 이산 전달함수 G(z)의 단위원 내부 극점(z = 0.99005) 안정도와, 단위 계단 응답에 대한 초기값 정리(y[0] = 0) 및 최종값 정리(y_ss = 1.0) 수렴 검증 과정을 나타낸 단계별 해석도입니다.

5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 이산 전달함수 계산 예제

5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 전류 제어 루프를 대상으로 z 변환 표와 정리들을 적용하여 이산 전달함수를 도출하고 정상상태 계단 응답을 계산해 보겠습니다. 연료전지 스택과 전력 변환 회로의 등가 전류 제어 플랜트를 시정수 τ = 0.01 s (차단주파수 a = 1 / τ = 100 rad/s), 직류 이득 K = 1인 1차 저역통과 시스템으로 모델링합니다. 연속시간 플랜트 전달함수 G(s)는 식 (10)과 같습니다.

G⁡(s)=a(s+a)(10)

식 (10)의 연속시간 시스템에 영차 홀드(ZOH)를 결합하여 디지털 제어기로 이산화합니다. 디지털 제어기의 샘플링 주기를 T_s = 100 μs (0.0001 s)로 설정하면 영차 홀드 이산화 전달함수 G(z)는 z 변환 기본 변환표에 의해 식 (11)의 형태로 유도합니다.

G⁡(z)=(1−e−a·Ts)(z−e−a·Ts)(11)

식 (11)에 a = 100 rad/s와 T_s = 0.0001 s를 대입하여 지수 항을 계산합니다. 지수 승수 값은 0.01이 되며, 지수 함수 계산 결과는 0.99005입니다. 분자의 계수는 0.00995로 계산합니다. 이를 식 (11)에 대입하여 정리한 수치 이산 전달함수는 식 (12)와 같습니다.

G⁡(z)=0.00995(z−0.99005)(12)

식 (12)에서 시스템의 이산 극점은 z = 0.99005에 위치합니다. 극점의 절댓값이 |0.99005| < 1을 만족하므로 이산 시스템은 단위원 내부에서 점근적으로 안정합니다. 이제 이 시스템에 크기가 1인 단위 계단 기준 전류 지령 U(z)를 인가할 때 출력 응답 Y(z)는 식 (13)과 같이 표현합니다.

Y⁡(z)=G⁡(z)·U⁡(z)=(0.00995·z)((z−0.99005)·(z−1))(13)

식 (13)에 초기값 정리 1편의 식 (8)을 적용하면 z가 무한대로 갈 때 분모의 차수가 분자의 차수보다 1차수 높으므로 초기 출력은 y[0] = 0입니다. 이는 계단 입력 인가 직후 전류가 0에서부터 완만하게 상승하기 시작함을 의미합니다. 이어서 최종값 정리 1편의 식 (9)를 적용하여 정상상태 출력 y_ss를 계산하면 식 (14)와 같습니다.

yss=lim{z→1}(z−1)z·Y⁡(z)=lim{z→1}0.00995(z−0.99005)=1.0(14)

식 (14)의 계산 결과에서 z에 1을 대입하면 분모는 0.00995가 되며, 분자의 0.00995와 나누어져 최종 정상상태 출력은 정확하게 1.0에 도달합니다. 기준 지령 1.0에 대해 정상상태 출력 오차가 0으로 수렴함을 z 도메인 상에서 명확하게 검증할 수 있습니다.

맺음말

본 글에서는 5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 디지털 제어기 설계를 위한 z 변환 기본 변환표와 주요 정리를 체계적으로 정립하고 수치 해석을 수행하였습니다. z 변환 정의와 단위 계단 및 1차 지수 감쇠 변환표를 바탕으로 샘플링 주기 T_s = 100 μs 조건에서 1차 시정수 플랜트의 이산 전달함수 G(z)를 도출하였습니다. 또한 시간 이동 정리를 통해 디지털 1샘플 연산 지연의 물리적 의미를 규명하고, 초기값 정리와 최종값 정리를 적용하여 초기 응답 y[0] = 0 및 정상상태 출력 y_ss = 1.0을 수학적으로 검증하였습니다.

실무에서 디지털 제어기를 구현할 때 주의해야 할 세 가지 핵심 기준은 다음과 같습니다. 첫째, 최종값 정리를 적용하기 전에 폐루프 극점이 복소 z 평면의 단위원(|z| < 1) 내부에 존재하는지 반드시 확인해야 합니다. 불안정한 시스템에 기계적으로 최종값 정리를 대입하면 잘못된 수렴값을 얻는 오류가 발생합니다. 둘째, DSP 연산 시간으로 인한 1샘플 연산 지연은 제어 대역폭 부근에서 상당한 위상 지연을 발생시키므로 위상 여유를 충분히 확보하도록 보상기를 설계해야 합니다. 셋째, 샘플링 주기가 매우 짧아지면 이산 극점이 z = 1.0 부근으로 밀집되므로 고정소수점 DSP 환경에서 계수 양자화 오차로 인한 수치적 발진이나 오버플로가 발생하지 않도록 부동소수점 연산이나 적절한 스케일링 기법을 적용해야 합니다.

이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 시간 지연 모델링, 50kW ESS 파데 근사와 위상 여유 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=268

이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.

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