이 글은 리드 보상기 설계, 드론 전자 변속기 위상 여유와 대역폭 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 드론 전자 변속기 제어 루프와 위상 지연 특성, 리드 보상기 전달함수와 최대 위상 앞섬각 유도, 주파수 영역 설계 사양과 영점 극점 위치 계산을 다룹니다.
드론 전자 변속기 제어 루프와 위상 지연 특성
드론의 전자 변속기(ESC, Electronic Speed Controller)는 비행 제어기(FC)의 명령을 받아 모터의 회전 속도를 신속하고 정밀하게 제어하는 핵심 구동 장치입니다. 드론 비행 시스템은 프로펠러의 공기 역학적 부하 변동, 배터리 전압 변화, 급격한 자세 기동 명령과 같은 외란에 실시간으로 대응해야 합니다. 따라서 전자 변속기의 속도 제어 루프는 빠른 과도 응답 속도와 외란 억제 능력을 확보하기 위해 충분히 넓은 대역폭과 안정도 여유를 유지해야 합니다.
모터와 인버터, 프로펠러 기계 부하로 구성된 속도 제어 플랜트는 전기적 시정수와 기계적 관성 시정수로 인해 고주파 영역으로 갈수록 급격한 위상 지연이 발생합니다. 본 예제에서는 전자 변속기 구동 모터 속도 루프의 개루프 전달함수를 식 (1)과 같이 정의합니다.
식 (1)에서 정의한 전달함수의 주파수 응답 크기와 위상각은 식 (2), 식 (3)과 같습니다.
비보상 상태에서 크기 이득이 1(0 dB)이 되는 이득 교차 주파수를 구하면 ω_c ≈ 67.2 rad/s로 계산됩니다. 이 주파수를 식 (3)에 대입하면 플랜트의 위상각은 약 -163.6°가 됩니다. 따라서 비보상 시스템의 위상 여유(Phase Margin)는 식 (4)와 같이 16.4°에 불과합니다.
위상 여유가 20° 미만으로 낮으면 스텝 속도 지령이 인가되었을 때 속도 응답에 큰 진동과 오버슈트가 발생하고 정정 시간이 길어집니다. 이러한 불안정성과 느린 감쇠 특성을 개선하기 위해 특정 주파수 대역에서 위상을 앞당겨 주는 리드 보상기 설계가 필수적입니다.
리드 보상기 전달함수와 최대 위상 앞섬각 유도
리드 보상기(Lead Compensator)는 주파수 영역에서 양(+)의 위상을 부가하여 시스템의 위상 여유를 개선하고 대역폭을 확장하는 고전 제어기입니다. 직렬 보상 방식으로 삽입되는 리드 보상기의 기본 전달함수는 식 (5)와 같이 표현됩니다.
여기서 T는 시정수이며, α는 극점과 영점의 위치 비율을 결정하는 설계 파라미터로 0 < α < 1 조건을 만족합니다. 보상기의 영점 주파수와 극점 주파수는 각각 식 (6), 식 (7)과 같이 정의됩니다.
α가 1보다 작으므로 영점 주파수 ω_z가 극점 주파수 ω_p보다 작아 복소평면상에서 영점이 극점보다 원점에 더 가깝게 배치됩니다. 리드 보상기의 위상 특성은 식 (8)과 같습니다.
보상기가 제공하는 위상 앞섬각이 최대가 되는 주파수 ω_m은 식 (8)의 위상각 함수를 주파수 ω로 미분하여 0이 되는 지점을 구함으로써 유도됩니다. 최대 위상 주파수 ω_m은 식 (9)와 같이 영점 주파수와 극점 주파수의 기하평균으로 결정됩니다.
주파수 ω_m에서 얻어지는 최대 위상 앞섬각 φ_m과 비율 α의 관계식은 삼각함수 정리를 통해 식 (10)으로 유도됩니다.
식 (10)을 파라미터 α에 관하여 정리하면 식 (11)과 같은 계산식을 얻습니다.
또한 최대 위상 주파수 ω_m에서 리드 보상기 전달함수의 크기 이득은 식 (12)와 같습니다.
식 (12)의 크기 이득을 데시벨 단위로 환산하면 식 (13)과 같습니다.
리드 보상기는 최대 위상각을 제공하는 주파수에서 1 / sqrt(α) 만큼의 크기 이득을 시스템에 추가하므로, 전체 제어 루프의 새로운 이득 교차 주파수가 더 높은 주파수 영역으로 이동하게 됩니다.
주파수 영역 설계 사양과 영점 극점 위치 계산
드론 전자 변속기 속도 루프의 요구 성능으로 목표 위상 여유를 PM_target = 50°로 설정하고 구체적인 설계 파라미터를 계산합니다. 리드 보상기를 추가하면 보상기 자체의 이득 증가분으로 인해 전체 시스템의 이득 교차 주파수가 기존 교차 주파수보다 오른쪽(고주파)으로 이동합니다. 주파수가 상승하면 플랜트 자체의 위상 지연이 추가로 증가하므로, 이를 보정하기 위해 통상 5°에서 10° 사이의 안전 여유각(θ_margin)을 추가합니다. 본 설계에서는 안전 여유각을 6.4°로 설정합니다. 필요한 최대 위상 앞섬각 φ_m은 식 (14)로 계산합니다.
식 (14)에 목표 위상 여유 50°, 비보상 위상 여유 16.4°, 여유각 6.4°를 대입하면 φ_m = 40°가 산출됩니다. 다음으로 식 (11)에 φ_m = 40°를 대입하여 파라미터 α를 계산합니다. sin(40°) 값은 약 0.6428이며, 이를 대입한 α의 계산 과정은 식 (15)와 같습니다.
산출된 파라미터 α는 약 0.2174가 됩니다.
파라미터 α가 결정되면 주파수 ω_m에서 보상기가 추가하는 이득은 식 (16)과 같이 약 6.63 dB이 됩니다.
보상 후 시스템의 개루프 전달함수가 주파수 ω_m에서 0 dB을 만족해야 하므로, 새로운 이득 교차 주파수 ω_m은 비보상 플랜트의 이득이 -6.63 dB(크기비로 sqrt(α) ≈ 0.4663)가 되는 지점으로 선정합니다. 식 (2)에서 크기 이득 0.4663을 만족하는 주파수를 계산하면 ω_m ≈ 98.5 rad/s가 됩니다.
새로운 교차 주파수 ω_m과 α를 바탕으로 시정수 T는 식 (17)로 계산합니다.
식 (17)에 수치를 대입하여 계산한 시정수 T는 식 (18)과 같습니다.
계산된 시정수는 약 0.0218 s입니다. 이를 통해 보상기의 영점 주파수 ω_z와 극점 주파수 ω_p를 식 (19), 식 (20)으로 각각 도출합니다.
식 (19)에 따른 영점 주파수 계산식은 식 (21)과 같으며, 식 (20)에 따른 극점 주파수 계산식은 식 (22)와 같습니다.
계산 결과 영점 주파수는 약 45.93 rad/s가 되며, 극점 주파수는 약 211.24 rad/s가 됩니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.