PI 대역폭 기반 설계, 250kW ESS 극점 상쇄와 이득 계산 1편

이 글은 PI 대역폭 기반 설계, 250kW ESS 극점 상쇄와 이득 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 250kW ESS 전력 변환기 전류 제어와 플랜트 모델링, 극점 상쇄 기법을 적용한 개루프 및 폐루프 전달함수 유도, 목표 대역폭 설정과 PI 이득 환산식 도출을 다룹니다.

250kW ESS 전력 변환기 전류 제어기에서 RL 플랜트의 극점을 PI 제어기 영점으로 상쇄하여 폐루프를 1차 저역통과 필터로 단순화하고, 목표 대역폭과 디지털 제어 지연을 고려해 최적의 비례 이득(Kp) 및 적분 이득(Ki)을 산정하는 절차를 보여줍니다.

250kW ESS 전력 변환기 전류 제어와 플랜트 모델링

에너지 저장 장치(ESS)용 전력 변환 장치에서 전류 제어기는 배터리의 충전 및 방전 전력을 신속하고 정밀하게 조절하는 핵심 요소입니다. 250kW급 대용량 전력 변환 장치는 계통 연계 인덕터와 변환기 내부의 기생 저항 성분으로 구성된 RL 필터를 통해 계통 및 직류단과 전력을 주고받습니다. 제어 루프의 응답 속도와 안정성을 확보하기 위해서는 전력 변환기 출력단에서 바라본 RL 필터 플랜트의 정확한 수학적 모델링이 선행되어야 합니다.

전력 변환기가 출력하는 전압과 계통 전압 사이의 전압 방정식은 키르히호프 전압 법칙에 따라 인덕턴스 L과 등가 직렬 저항 R을 포함하는 1차 미분방정식으로 수립할 수 있습니다. 계통 전압을 외란으로 간주하여 전향 보상(Feedforward)으로 상쇄하면, 제어기가 인가하는 유효 전압 v_i(t)와 출력 전류 i(t) 사이의 라플라스 변환 전달함수는 식 (1)과 같이 도출할 수 있습니다.

G_{p} (s) = \frac{1}{(L \cdot s + R)}

(1)

식 (1)에서 플랜트 전달함수 G_p(s)는 식 (2)의 위치에 하나의 극점(Pole)을 갖습니다.

s = \frac{-}{R}

(2)

250kW급 대용량 변환기는 낮은 도통 손실을 위해 저항 R이 매우 작게 설계되므로, 식 (3)의 플랜트 시정수 τ는 수십 밀리초(ms) 수준으로 상대적으로 긴 시정수를 갖습니다.

τ = \frac{L}{R}

(3)

따라서 제어기 보상 없이 전압 지령만으로 전류를 제어하면 과도 응답이 둔화되고 계통 외란에 취약해지는 문제를 초래합니다. 이를 극복하고 원하는 과도 응답 성능을 달성하기 위해 비례적분(PI) 제어기를 적용합니다.

극점 상쇄 기법을 적용한 개루프 및 폐루프 전달함수 유도

전류 루프에 적용되는 연속 시간 영역의 비례적분(PI) 제어기 전달함수 G_c(s)는 비례 이득 K_p와 적분 이득 K_i를 사용하여 식 (4)와 같이 정의합니다.

G_{c} (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s} = \frac{K_{p} \cdot (s + \frac{K_{i}}{K_{p}})}{s}

(4)

식 (4)에서 PI 제어기는 원점에 위치한 극점과 식 (5)의 위치에 하나의 영점(Zero)을 갖습니다.

s = \frac{-}{K_{i}}

(5)

플랜트 전달함수 G_p(s)와 PI 제어기 전달함수 G_c(s)를 직렬로 결합하면 시스템은 2차 시스템이 되어 감쇠비와 고유 진동수를 별도로 조율해야 하는 복잡성이 발생합니다. 제어기 설계의 복잡도를 낮추고 안정적인 응답을 유도하기 위해 제어기의 영점을 플랜트의 극점과 일치시키는 극점 상쇄(Pole-Zero Cancellation) 기법을 적용합니다.

극점 상쇄를 위한 조건은 제어기 영점의 위치를 플랜트 극점 위치와 동일하게 설정하는 것이며, 이는 식 (6)으로 나타낼 수 있습니다.

\frac{K_{i}}{K_{p}} = \frac{R}{L}

(6)

식 (6)의 조건을 만족하도록 적분 이득과 비례 이득의 비율을 설정하면, 시스템의 개루프 전달함수 L(s)는 플랜트의 극점 (s + R/L)과 제어기의 영점 (s + K_i/K_p)이 수학적으로 소거되어 식 (7)과 같이 순수 적분기 형태로 단순화할 수 있습니다.

L (s) = G_{c} (s) \cdot G_{p} (s) = \frac{K_{p}}{(L \cdot s)}

(7)

개루프 전달함수가 1차 순수 적분기로 정격화됨에 따라, 단위 궤환 폐루프 전달함수 T(s)는 식 (8)과 같이 1차 저역통과 필터(Low-Pass Filter) 형태로 유도할 수 있습니다.

T (s) = \frac{L}{} = \frac{\frac{K_{p}}{L}}{(s + \frac{K_{p}}{L})}

(8)

식 (8)의 결과는 전류 폐루프 시스템이 공진이나 오버슈트 없이 1차 지연 시스템의 이상적인 계단 응답 특성을 나타냄을 명확히 보여주고 있습니다.

목표 대역폭 설정과 PI 이득 환산식 도출

폐루프 전달함수 식 (8)에서 분모의 차단 주파수에 해당하는 각주파수를 목표 대역폭 ω_cc(rad/s)로 정의합니다. 목표 대역폭 ω_cc를 폐루프 시스템에 대입하면 폐루프 전달함수는 식 (9)가 되며, 이로부터 비례 이득 K_p를 산정하는 환산식은 식 (10)과 같이 도출할 수 있습니다.

T (s) = \frac{ω_{cc}}{(s + ω_{cc})}

(9)

K_{p} = ω_{cc} \cdot L

(10)

식 (10)에서 구한 비례 이득 K_p를 앞서 수립한 극점 상쇄 조건 식 (6)에 대입하면, 적분 이득 K_i를 구하는 환산식은 식 (11)과 같이 정리할 수 있습니다.

K_{i} = ω_{cc} \cdot R

(11)

식 (10)과 식 (11)을 통해 목표 각주파수 대역폭 ω_cc와 플랜트의 물리적 파라미터(L, R)만 결정되면 복잡한 시행착오 없이 K_p와 K_i를 직접 산출할 수 있습니다. 목표 대역폭을 헤르츠(Hz) 단위의 주파수 f_cc로 표현할 경우, 각주파수와의 관계식은 식 (12)와 같이 성립합니다.

ω_{cc} = 2 \cdot π \cdot f_{cc}

(12)

이러한 대역폭 기반 설계법을 적용하면 폐루프의 시정수는 식 (13)이 되며, 계단 지령 입력 시 오차 2% 기준의 정정 시간은 약 4 / ω_cc로 결정할 수 있습니다.

τ_{cl} = \frac{1}{ω_{cc}}

(13)

즉, 설계자는 요구되는 응답 시간과 정정 시간을 바탕으로 목표 대역폭을 설정하고, 이를 통해 제어 게인을 수치적으로 정확히 결정할 수 있습니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

250kW ESS 전력 변환기 전류 제어와 플랜트 모델링

극점 상쇄 기법을 적용한 개루프 및 폐루프 전달함수 유도

목표 대역폭 설정과 PI 이득 환산식 도출

댓글 남기기 응답 취소