이 글은 이산 정상상태 오차 상수, 로봇 관절 위치와 속도 추종 오차 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 이산 제어 시스템의 오차 전달함수와 최종값 정리, 이산 정상상태 오차 상수의 정의와 유도, 시스템 형에 따른 입력 신호별 오차 특성을 다룹니다.
이산 제어 시스템의 오차 전달함수와 최종값 정리
로봇 관절 제어 시스템을 마이크로컨트롤러나 디지털 신호 처리기(DSP) 기반으로 구현할 때는 연속 시간 영역이 아닌 이산 시간 z 영역에서 정상상태 오차를 해석해야 합니다. 디지털 제어기는 일정한 샘플링 주기 T마다 오차 신호를 획득하고 제어 입력을 갱신하므로, 아날로그 제어기와는 다른 이산 전달함수 수식이 적용됩니다. 로봇 관절의 단위 피드백 위치 제어 루프에서 기준 궤적 입력 R(z)와 출력 위치 Y(z) 사이의 이산 오차 E(z)는 개루프 전달함수 G(z)를 통해 유도됩니다.
식 (1)에서 폐루프 시스템이 안정한 상태에 도달했을 때 시간이 무한대로 흐름에 따라 나타나는 오차 e_ss는 이산 최종값 정리(Final Value Theorem)를 사용하여 구합니다. 이산 시간 영역의 최종값 정리는 시간 영역의 k가 무한대로 갈 때의 오차를 z 영역의 극한값으로 변환하여 계산합니다.
식 (2)를 적용하기 위해서는 반드시 선행되어야 하는 수학적 전제조건이 존재합니다. 그것은 (z – 1)E(z)의 모든 극점이 복소평면상의 단위원 내부, 즉 |z| < 1 영역에 위치하여 폐루프 시스템이 점근적으로 안정해야 한다는 점입니다. 만약 폐루프 극점 중 단 하나라도 단위원 위나 외부에 존재한다면 식 (2)의 최종값 정리를 적용할 수 없으며 오차는 정상상태로 수렴하지 않고 진동하거나 발산합니다.
이산 정상상태 오차 상수의 정의와 유도
로봇 관절의 제어 성능은 계단 지령, 정속도 회전 지령, 가속도 지령과 같은 표준 입력 신호에 대해 관절 축이 얼마나 정확하게 추종하는지로 평가합니다. 이산 제어계에서는 입력 신호 R(z)의 형태에 따라 위치 오차 상수 K_p, 속도 오차 상수 K_v, 가속도 오차 상수 K_a를 정의합니다. 첫째로 목표 위치를 즉각적으로 변경하는 단위 계단 입력 R(z)는 식 (3)과 같으며, 이에 따른 위치 오차 상수 K_p는 식 (4)와 같이 정의됩니다.
단위 계단 입력에 대한 정상상태 위치 오차는 식 (1)과 식 (2)에 R(z)를 대입하여 정리하면 식 (5)와 같이 구해집니다.
둘째로 로봇 관절이 일정한 속도로 연속 회전하는 단위 램프 입력에 대해, 샘플링 주기 T가 반영된 이산 신호 R(z)는 식 (6)이 됩니다. 이를 오차 전달함수에 대입하여 극한을 전개하면 속도 오차 상수 K_v는 식 (7)과 같이 정의됩니다.
단위 램프 입력에 대한 정상상태 속도 추종 오차는 식 (8)과 같이 유도됩니다.
셋째로 로봇 관절의 가속 구간을 모사하는 단위 포물선 입력에 대한 이산 변환 R(z)는 식 (9)와 같으며, 가속도 오차 상수 K_a는 식 (10)과 같이 정의됩니다.
단위 가속도 입력에 대한 정상상태 가속도 오차는 식 (11)과 같이 계산됩니다.
이산 오차 상수 식 (7)과 식 (10)에서 보듯이, 이산 속도 오차 상수와 가속도 오차 상수에는 샘플링 주기 T와 T^2이 분모 항으로 포함되어 연속 시간 영역의 오차 상수 정의와 구조적인 차이를 보입니다.
시스템 형에 따른 입력 신호별 오차 특성
디지털 제어 시스템의 정상상태 오차는 개루프 전달함수 G(z)가 z = 1에 몇 개의 극점을 가지고 있는가에 의해 결정되며, 이를 시스템의 형(Type)이라고 부릅니다. 연속 시간 영역에서 원점(s = 0)의 극점이 적분기를 의미하듯이, 이산 시간 z 영역에서는 z = e^(sT) = e^0 = 1 인 지점의 극점이 이산 적분기를 나타냅니다. 따라서 개루프 전달함수 G(z)는 식 (12)와 같이 z = 1인 극점의 개수 N으로 일반화하여 표현합니다.
식 (12)에서 N = 0인 시스템을 Type 0 시스템이라고 합니다. Type 0 시스템은 z = 1에 극점이 없으므로 위치 오차 상수 K_p는 유한한 상수값을 가집니다. 따라서 단위 계단 위치 지령에 대해 식 (5)와 같은 유한한 정상상태 오차가 발생하며, 램프나 가속도 입력에 대해서는 K_v = 0, K_a = 0이 되어 오차가 시간에 따라 무한히 증가합니다.
N = 1인 Type 1 시스템은 z = 1에 1개의 이산 적분 극점을 포함합니다. 이 경우 식 (4)에 의해 K_p = ∞ 가 되어 단위 계단 위치 지령에 대한 정상상태 오차는 0이 됩니다. 반면 단위 램프 입력에 대해서는 식 (7)에 의해 K_v가 유한한 상수값을 가지므로, 일정한 속도로 움직이는 로봇 관절은 식 (8)에 해당하는 일정한 위치 추종 오차를 유지하며 추종합니다.
N = 2인 Type 2 시스템은 z = 1에 2개의 이산 적분기를 포함하므로 계단 지령과 램프 지령 모두에서 정상상태 오차가 0이 되며, 가속도 입력에 대해서만 식 (11)과 같은 유한한 정상상태 오차가 발생합니다. 일반적인 로봇 관절 위치 제어 루프는 최소 Type 1 이상의 구조를 갖추어야 정지 위치 오차를 0으로 만들 수 있습니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.