이 글은 이산 정상상태 오차 상수, 로봇 관절 위치와 속도 추종 오차 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 로봇 관절 위치 제어 시스템의 정상상태 오차 계산 예제, 실무 디지털 제어기 구현 한계와 맺음말을 설명합니다.
로봇 관절 위치 제어 시스템의 정상상태 오차 계산 예제
실제 서보 모터로 구동되는 산업용 로봇 관절의 디지털 위치 제어 시스템을 예로 들어 오차 상수를 계산합니다. 샘플링 주기를 T = 0.01 s (100 Hz 제어 루프)로 설정하고, 디지털 제어기와 로봇 관절 기구부를 포함한 개루프 이산 전달함수 G(z)가 식 (13)과 같이 모델링되었다고 가정합니다.
식 (13)의 G(z)는 z = 1에 1개의 극점을 가지므로 Type 1 시스템에 해당합니다. 먼저 최종값 정리 적용의 전제조건인 폐루프 안정도를 검증하기 위해 특성 방정식을 수립합니다.
식 (14)의 2차 방정식 근을 구하면 폐루프 극점은 0.876 ± j0.2805 가 됩니다. 극점의 크기(절댓값)를 계산하면 sqrt(0.84608) ≈ 0.9198 로 1보다 작으므로 단위원 내부에 위치합니다. 따라서 이 폐루프 시스템은 안정하며 이산 최종값 정리를 적용할 수 있습니다.
이제 각 입력에 대한 오차 상수를 계산합니다. Type 1 시스템이므로 위치 오차 상수 K_p는 무한대가 되며, 단위 계단 위치 지령에 대한 정상상태 위치 오차는 0 rad이 됩니다. 다음으로 단위 램프 입력에 대한 속도 오차 상수 K_v를 1편의 식 (7)에 따라 계산합니다.
식 (15)의 계산 결과에 따라 속도 오차 상수는 47.04 s^(-1)로 도출됩니다. 따라서 1 rad/s의 정속도로 회전하는 단위 램프 입력에 대한 정상상태 속도 추종 오차는 식 (16)과 같이 계산됩니다.
식 (16)에서 구한 정상상태 오차값은 약 0.0213 rad이며, 이를 각도로 환산하면 약 1.22° 의 정상상태 위치 추종 지연이 발생함을 의미합니다. 만약 로봇 관절이 2 rad/s로 정속 회전한다면 오차는 지령 크기에 비례하여 0.0425 rad (약 2.44°)로 증가합니다. 한편 가속도 오차 상수 K_a는 0이 되므로 관절이 가속 운동을 수행할 때 정상상태 오차는 무한대로 발산합니다.
실무 디지털 제어기 구현 한계와 맺음말
본 글에서는 이산 제어 시스템의 z 영역 최종값 정리와 오차 전달함수로부터 위치, 속도, 가속도 오차 상수를 유도하고 로봇 관절 모델에 대한 정상상태 추종 오차를 계산하였습니다. Type 1 구조의 로봇 관절 제어기는 목표 각도 정지 시 오차가 0으로 수렴하지만, 등속 궤적 추종 시에는 1편의 식 (8)에 해당하는 불가피한 위치 지연 오차가 발생함을 수치적으로 확인하였습니다.
실무 펌웨어 제어기를 구현할 때는 수식적 계산값 외에도 다음과 같은 하드웨어적 제약 사항을 반드시 고려해야 합니다.
첫째로 샘플링 주기 T의 선정입니다. 1편의 식 (7)에서 보듯이 샘플링 주기 T를 줄이면 속도 오차 상수 K_v의 계산 이득이 증가하여 오차를 줄이는 데 유리하지만, 지나치게 짧은 샘플링 주기는 부동소수점 연산의 양자화 오차를 증폭시키고 인터럽트 지터(Jitter)에 대한 민감도를 높입니다.
둘째로 구동기 포화와 비선형 마찰입니다. 정상상태 오차 공식은 액추에이터가 선형 구간에서 동작한다는 가정을 전제로 합니다. 실제 로봇 관절에서는 모터 드라이버의 최대 출력 토크 제한으로 인한 포화 현상이 발생할 수 있으며, 정지 마찰력과 쿨롱 마찰력에 의해 적분기가 동작하더라도 미세한 불감대(Dead-zone) 오차가 잔류할 수 있습니다.
셋째로 계산 지연 시간의 영향입니다. 디지털 제어기는 ADC 변환과 제어 알고리즘 연산으로 인해 제어 지연(Delay)이 발생하며, 이는 z^(-1) 형태의 추가적인 위상 지연을 유발하여 시스템의 안정도 여유를 감소시킵니다.
따라서 궤적 추종 정밀도가 중요한 산업용 다관절 로봇에서는 단순히 피드백 루프의 적분기만 추가하기보다, 속도 및 가속도 전향(Feedforward) 제어기를 병행 설계하여 정상상태 추종 오차를 선제적으로 보상해야 합니다.
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.