이 글은 오일러 근사, 로봇 관절 제어기 차분 방정식 유도와 안정 영역 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 로봇 관절 제어기 전달함수의 이산화 수식 유도, 샘플링 주기에 따른 극점 이동과 차분 방정식 계산 예제, 맺음말을 설명합니다.
로봇 관절 제어기 전달함수의 이산화 수식 유도
로봇 관절 구동 모터의 위치 및 속도 제어에는 비례 적분 제어기를 널리 사용합니다. 연속 시간 영역에서 로봇 관절 제어기의 전달함수를 C(s) 라 하고, 제어 오차를 E(s), 제어 출력을 U(s) 로 둘 때 전달함수는 식 (8)과 같이 정의합니다.
식 (8)에서 K_p 는 비례 이득이며 K_i 는 적분 이득입니다. 디지털 신호 처리기에서 실시간으로 연산할 수 있는 차분 방정식을 유도하기 위해 식 (8)의 s 에 후방 오일러 변환식인 1편의 식 (4)를 대입합니다. 대입 후 z 변환 영역에서 입출력 관계식을 전개하면 식 (9)와 같은 대수 방정식을 얻습니다.
식 (9)의 양변에 역 z 변환을 적용하면 현재 제어 출력 u[k] 에 대한 이산 시간 차분 방정식인 식 (10)을 완성합니다.
식 (10)은 현재 시점의 제어 출력 u[k] 가 바로 이전 제어 출력 u[k – 1], 현재 오차 e[k], 이전 오차 e[k – 1] 의 선형 결합으로 계산됨을 의미합니다.
또한 로봇 관절 제어 루프에 포함되는 1차 저역 통과 필터의 전달함수를 G(s) 라 하고 차단 각주파수를 ω_c 로 둘 때, 필터의 연속 전달함수는 식 (11)과 같습니다.
식 (11)에 후방 오일러 근사를 적용하여 역 z 변환을 수행하면 이산 필터 차분 방정식인 식 (12)를 유도합니다.
식 (12)에 따라 로봇 관절 센서 신호의 잡음을 감쇠시키는 필터 연산 역시 단일 주기 메모리 갱신만으로 간결하게 처리합니다.
샘플링 주기에 따른 극점 이동과 차분 방정식 계산 예제
로봇 관절 구동 시스템의 차단 각주파수가 500 rad/s 이고, 제어기 비례 이득이 10, 적분 이득이 1000 인 제어 루프를 대상으로 극점 이동과 차분 방정식 계수를 계산합니다.
연속 극점이 -500 rad/s 에 위치할 때, 전방 오일러 변환을 적용하면 이산 극점 z_FE 는 식 (13)과 같이 결정합니다.
이산 극점 z_FE 가 단위원 내부에 위치하여 시스템이 안정성을 유지하기 위한 표본화 주기 조건은 식 (14)와 같습니다.
식 (14)에 차단 각주파수 500 rad/s 를 대입하면 표본화 주기는 0.004 s 미만이어야 합니다. 만약 제어기 연산 주기를 0.005 s 로 길게 설정하면, 전방 오일러 극점의 값은 -1.5 에 도달합니다. 극점의 절댓값이 1보다 크고 음의 실수축에 놓이므로 제어 출력은 매 표본마다 부호가 반전되며 극심하게 발산합니다.
동일한 제어 루프에 후방 오일러 변환을 적용할 경우 이산 극점 z_BE 는 식 (15)와 같이 계산합니다.
표본화 주기를 0.005 s 로 설정하더라도 후방 오일러 극점은 약 0.2857 에 위치합니다. 극점의 크기가 단위원 내부에 안전하게 위치하므로 시스템은 안정성을 유지합니다.
표본화 주기를 0.001 s 로 선정한 로봇 관절 제어기에서 식 (10)의 파라미터를 계산하면 적분 항 계수는 1 에 해당하며, 비례 적분 결합 계수는 11 에 해당합니다. 따라서 실시간 제어 인터럽트 서비스 루틴에 적용되는 최종 차분 방정식은 식 (16)과 같이 도출합니다.
제어 소프트웨어는 매 제어 주기마다 식 (16)을 연산한 후 다음 주기를 위해 이전 제어 출력과 이전 오차 변수를 갱신합니다.
맺음말
로봇 관절 제어기를 디지털 제어기로 구현하기 위한 오일러 근사의 수학적 원리와 안정 영역 매핑 특성 및 차분 방정식 유도 과정을 체계적으로 살펴보았습니다.
전방 오일러 근사는 연산 구조가 직관적이지만 s 평면의 좌반평면을 z 평면의 Re(z) < 1 영역으로 매핑하므로, 표본화 주기가 식 (14)의 한계인 0.004 s 를 초과할 경우 시스템이 발산하는 심각한 안정성 문제를 초래합니다. 반면에 후방 오일러 근사는 s 평면의 좌반평면을 z 평면 단위원 내부인 1편의 식 (7)의 중심 (0.5, 0), 반지름 0.5인 원으로 매핑하므로 표본화 주기 크기와 무관하게 무조건적인 안정성을 보장합니다.
실무에서 로봇 관절 서보 제어 루프를 마이크로컨트롤러 인터럽트 서비스 루틴으로 구현할 때는 다음 세 가지 사항을 준수해야 합니다. 첫째, 적분기 수치 적분 및 필터 구현 시 발산 위험이 없는 후방 차분 기반의 차분 방정식을 기본 구조로 채택합니다. 둘째, 제어 연산 루틴의 마지막 단계에서 반드시 이전 제어 출력과 이전 오차 메모리 변수를 누락 없이 갱신합니다. 셋째, 적분 누적으로 인한 제어 출력 포화를 방지하기 위해 차분 방정식 연산 직후 적절한 안티 와인드업 제한 로직을 함께 구현해야 합니다.
이러한 수치적 원리와 이산화 기준을 엄밀하게 적용하면 고속 응답이 요구되는 로봇 관절 구동계에서도 진동 없이 정밀하고 안정적인 디지털 제어 성능을 확보할 수 있습니다.
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.