항공 전기 추진과 직류 전동기 모델의 전기자 등가회로
항공 전기 추진 시스템은 높은 출력 밀도와 가혹한 환경 속에서도 신뢰성 높은 동적 응답을 유지해야 합니다. 추진용 전동기를 정밀하게 제어하기 위해서는 전동기 내부의 전기적 현상과 기계적 회전 거동을 수식으로 정립하는 직류 전동기 모델이 필수적입니다. 직류 전동기의 전기자 회로는 전기자 저항 R_a와 전기자 인덕턴스 L_a가 직렬로 연결된 R-L 플랜트에 회전 운동에 의해 생성되는 역기전력 e_b가 직렬로 대향 배치된 구조로 이루어져 있습니다.
전기자 양단에 인가되는 단자 전압 V_a와 전기자에 흐르는 전류 i_a 사이의 관계는 키르히호프 전압 법칙에 따라 다음과 같은 1계 미분방정식으로 유도할 수 있습니다.
식 (1)에서 우변의 첫째 항은 저항에 의한 순시 전압 강하를 나타내며, 둘째 항은 권선 인덕턴스에 의해 전류 변화를 방해하는 유도 기전력입니다. 셋째 항인 e_b는 회전자가 회전함에 따라 자속을 쇄교하면서 발생하는 역기전력입니다. 초기 전류가 0인 상태에서 양변을 라플라스 변환하면 복소 주파수 영역에서의 전류 관계식을 도출할 수 있습니다.
식 (2)에서 알 수 있듯이 전기자 전류는 인가 전압과 역기전력의 차이인 순 유효 전압에 의해 구동되며, 전기자 임피던스에 의해 전류의 응답 속도와 크기 제한을 받습니다.
역기전력과 토크 상수의 결합 메커니즘
직류 전동기 모델에서 전기 영역과 기계 영역을 상호 연결하는 물리적 매개체는 역기전력 상수와 토크 상수입니다. 패러데이 전자기 유도 법칙에 따르면 도체가 자계 내부에서 회전할 때 유도되는 역기전력 e_b는 회전자의 기계적 각속도 ω_m에 직접 비례합니다.
식 (3)에서 K_e는 역기전력 상수입니다. 한편 자계 내에서 전류가 흐르는 도체에 작용하는 로렌츠 힘에 의해 발생하는 전자기적 토크 T_e는 전기자 전류 i_a에 비례합니다.
식 (4)에서 K_t는 토크 상수입니다. 이상적인 에너지 보존 법칙에 따르면 전기적으로 변환되는 순시 전력 P_em은 기계적으로 출력되는 회전 동력과 정확히 일치해야 합니다. 즉, 다음과 같은 관계가 성립합니다.
식 (3)과 식 (4)를 식 (5)에 대입하여 정리하면, 국제단위계(SI)를 적용할 경우 역기전력 상수 K_e [V·s/rad]와 토크 상수 K_t [N·m/A]는 수치적으로 완전히 동일한 값을 갖습니다.
이러한 결합 특성으로 인해 회전 속도가 상승하면 역기전력이 증가하여 유효 전압을 감소시키고, 이에 따라 전기자 전류와 발생 토크가 자연스럽게 줄어드는 자체 부궤환 제동 효과가 발생합니다.
회전자 기계적 운동 방정식과 전달함수 유도
전자기적으로 발생한 토크는 회전자의 관성을 극복하고 공력 부하를 구동하는 기계적 운동으로 변환을 수행합니다. 뉴턴-오일러 회전 운동 방정식에 따라 전동기 회전자 및 부하의 기계적 거동을 다음과 같이 표현합니다.
식 (6)에서 J는 회전자와 프로펠러를 합산한 회전 관성 모멘트이며, B는 회전축의 점성 마찰 계수, T_L은 항공 추진체가 받는 외란 및 공력 부하 토크입니다. 부하 토크 T_L이 0인 무부하 상태를 기준으로 식 (1), 식 (3), 식 (4), 식 (6)을 결합하여 단자 전압 V_a(s)에서 각속도 Ω_m(s)까지의 전체 시스템 전달함수를 유도하면 다음과 같은 2차 시스템 표준형이 도출됩니다.
식 (7)의 분모 다항식은 직류 전동기 구동 시스템의 고유한 2차 특성방정식을 형성합니다. 이 특성방정식의 근 배치는 전기자 인덕턴스와 기계적 회전 관성의 상호작용에 의해 결정되며, 시스템의 과도 감쇠 특성과 진동 여부를 결정짓는 핵심 기준을 제공합니다.
전기 시정수와 기계 시정수 특성 및 수치 해석
직류 전동기 모델의 동특성은 전기적 시정수와 기계적 시정수의 크기 비율에 의해 지배를 받습니다. 전기 시정수 τ_e는 전압 인가 시 전류가 목표값의 63.2%까지 상승하는 데 걸리는 시간 척도입니다.
기계 시정수 τ_m은 무부하 상태에서 전압 인가 시 전동기가 정상 회전 속도의 63.2%까지 가속하는 데 소요되는 전기기계적 시정수입니다.
점성 마찰 B가 무시할 수 있을 만큼 작은 고효율 추진 환경에서 전체 시스템의 특성방정식은 두 시정수를 사용하여 간결하게 재구성할 수 있습니다.
실제 항공 전기 추진용 800V DC 버스 기반 250kW급 직류 전동기의 대표 파라미터를 적용하여 수치를 계산합니다. 전기자 저항 R_a는 0.08Ω, 전기자 인덕턴스 L_a는 0.64mH(0.00064H), 역기전력 상수 K_e는 1.25V·s/rad, 토크 상수 K_t는 1.25N·m/A, 총 관성 모멘트 J는 0.5kg·m^2으로 설정합니다.
식 (8)에 따라 전기 시정수를 계산하면 0.00064 / 0.08 = 0.008s가 되어 전기 시정수는 8ms로 도출할 수 있습니다. 식 (9)에 따라 기계 시정수를 계산하면 (0.5 * 0.08) / (1.25 * 1.25) = 0.04 / 1.5625 = 0.0256s가 되어 기계 시정수는 25.6ms로 도출할 수 있습니다.
기동 초기 정지 상태(ω_m = 0, e_b = 0)에서 정격 전압 800V를 계단상으로 인가할 경우 초기 전류 상승률은 800 / 0.00064 = 1250000A/s에 달합니다. 제한이 없을 때 이론적 최대 순시 구속 전류는 800 / 0.08 = 10000A에 달합니다. 무부하 정상 상태에서의 최종 도달 각속도는 800 / 1.25 = 640rad/s(약 6112RPM)입니다. 정격 운전 시 600rad/s(약 5730RPM)에서 250kW 출력을 낼 때 요구 토크는 250000 / 600 = 416.67N*m이며, 이때 흐르는 전기자 전류는 416.67 / 1.25 = 333.33A입니다. 이때 발생하는 역기전력은 1.25 * 600 = 750V이며, 저항 전압 강하는 0.08 * 333.33 = 26.67V가 되어 총 요구 단자 전압은 776.67V로 계산할 수 있습니다. 공급 전압 800V 대비 약 23.33V의 전압 제어 여유(Headroom)를 확보함을 확인할 수 있습니다.
맺음말
본 글에서는 항공 전기 추진 시스템에 적용되는 고전압 직류 전동기 모델의 전압 방정식과 회전 운동 방정식을 유도하고, 전기 시정수 및 기계 시정수의 계산과 과도 거동을 정량적으로 해석하였습니다.
계산 결과 800V 250kW급 전동기에서 전기 시정수는 8ms, 기계 시정수는 25.6ms로 도출할 수 있었습니다. 기계 시정수가 전기 시정수보다 크기 때문에 전기적 전류 루프의 응답이 기계적 속도 루프보다 빠르게 정정을 완료합니다. 실무 제어기를 설계할 때 내부 전류 제어 루프의 대역폭을 외부 속도 제어 루프보다 5배에서 10배 이상 높게 설정하여 두 루프 간의 간섭을 분리해야 합니다.
또한 항공 추진 환경에서는 급격한 피치 변경이나 돌풍으로 인한 부하 변동 시 전압 포화가 발생하지 않도록 정격 운전점에서도 충분한 전압 헤드룸을 확보해야 합니다. 권선 온도 상승에 따라 전기자 저항 R_a가 증가하면 전기 시정수가 감소하고 기계 시정수는 증가하므로, 온도 보상 알고리즘과 엄격한 전류 상승률 제한을 적용하여 시스템의 신뢰성을 확보해야 합니다.