이 글은 오일러 근사, 로봇 관절 제어기 차분 방정식 유도와 안정 영역 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 오일러 근사의 개념과 전방 후방 차분 정의, s평면과 z평면의 매핑 및 안정 영역 해석을 다룹니다.
오일러 근사의 개념과 전방 후방 차분 정의
연속 시간 영역에서 설계된 로봇 관절 제어기를 마이크로컨트롤러나 디지털 신호 처리기에서 실행하기 위해서는 미분 방정식을 이산 시간 차분 방정식으로 변환해야 합니다. 오일러 근사는 연속 도함수를 이산 표본 간격 사이의 기울기로 근사하는 대표적인 수치 해석 기법입니다. 이때 도함수를 근사하는 기준 시점에 따라 전방 차분과 후방 차분으로 구분합니다.
전방 차분은 현재 시점과 바로 다음 표본 시점 사이의 신호 변화량을 표본화 주기로 나누어 도함수를 근사합니다. 표본화 주기를 T_s 로 정의하고 이산 시각 색인을 k 로 둘 때, 전방 차분에 의한 도함수 근사식은 식 (1)과 같습니다.
식 (1)의 양변에 z 변환을 적용하여 연속 시간 복소 변수 s 와의 관계를 도출하면 s 평면 연산자는 식 (2)와 같이 전방 오일러 변환식으로 치환합니다.
반면에 후방 차분은 현재 시점과 바로 이전 표본 시점 사이의 신호 변화량을 기준으로 도함수를 근사합니다. 후방 차분에 의한 도함수 근사식은 식 (3)과 같습니다.
식 (3)에 z 변환을 적용하면 연속 시간 복소 변수 s 는 식 (4)와 같이 후방 오일러 변환식으로 치환합니다.
전방 차분은 다음 시점의 상태를 현재 상태로부터 직접 계산할 수 있어 수식이 단순하지만, 표본화 주기에 따라 수치적 불안정성이 발생할 수 있습니다. 후방 차분은 현재 시점의 도함수를 과거 정보와 현재 정보로 표현하므로 디지털 제어기의 인과성을 만족하면서도 우수한 안정성을 제공합니다.
s평면과 z평면의 매핑 및 안정 영역 해석
연속 제어 시스템이 안정하기 위한 필요충분조건은 s 평면의 모든 극점이 복소 평면의 좌반평면에 위치하는 것입니다. 즉, 극점의 실수부가 0보다 작아야 합니다. 반면에 이산 시간 디지털 시스템이 안정하기 위한 조건은 z 평면의 모든 극점이 원점을 중심으로 하는 단위원 내부에 위치하는 것입니다. 오일러 근사를 적용할 때 s 평면의 좌반평면이 z 평면의 어느 영역으로 매핑되는지를 규명하는 것은 제어기 안정성 확보의 핵심 과제입니다.
전방 오일러 변환식인 식 (2)를 z 에 관하여 정리하고 s 평면의 안정 영역 조건을 대입하면 식 (5)가 성립합니다.
표본화 주기 T_s 는 항상 양수이므로 식 (5)를 만족하는 z 평면의 영역은 식 (6)과 같습니다.
식 (6)이 나타내는 영역은 z 평면에서 실수부가 1보다 작은 수직선 왼쪽의 전체 평면입니다. 이 영역은 단위원 내부뿐만 아니라 단위원 외부의 넓은 영역까지 포함합니다. 따라서 s 평면에서 안정했던 연속 제어기 극점이라도 전방 오일러 근사를 거치면 z 평면 단위원 밖으로 매핑되어 폐루프 시스템이 발산할 수 있습니다.
반면에 후방 오일러 변환식인 식 (4)에서 s 평면의 좌반평면 조건을 대입하여 정리하면 z 평면의 매핑 영역은 식 (7)과 같이 도출합니다.
식 (7)은 z 평면에서 중심이 (0.5, 0)이고 반지름이 0.5인 원의 내부 영역을 의미합니다. 이 원은 z 평면의 단위원 내부에 완전히 포함하는 형태입니다. 즉, s 평면 좌반평면의 모든 점이 z 평면 단위원 내부로만 사상되므로, 후방 오일러 근사는 표본화 주기와 무관하게 안정성을 보존하는 A-안정성을 완벽하게 만족합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.