이 글은 보드 선도 해석, 로봇 관절 전달함수 점근선 작도와 위상 여유 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 로봇 관절 구동계 전달함수 모델과 주파수 응답 정의, 극점과 영점이 보드 선도 점근선에 미치는 영향, 주파수별 점근선 작도와 크기 및 위상 계산을 다룹니다.
로봇 관절 구동계 전달함수 모델과 주파수 응답 정의
로봇 관절 구동 시스템은 전동기, 감속기, 링크 기구부, 관성 부하로 구성되며 정밀한 위치 추종과 궤적 제어가 핵심입니다. 이러한 제어계를 체계적으로 설계하고 안정도를 평가하기 위해서는 시간 영역의 미분방정식을 라플라스 변환하여 전달함수를 수립해야 합니다. 전달함수는 입력 신호에 대한 출력 신호의 관계를 복소 주파수 영역에서 나타낸 수학적 모델입니다. 로봇 관절의 위치 제어계에서는 구동 전동기의 전기적 시정수와 기계적 관성 및 점성 마찰이 결합하여 복합적인 극점을 형성합니다. 또한 정상상태 위치 오차를 0으로 유지하기 위하여 위치 적분 요소를 제어 루프에 포함합니다.
로봇 관절 구동계의 개루프 전달함수는 제어기와 구동 모터 및 기계 관성 부하를 모두 포함하여 식 (1)과 같이 표준형으로 정의합니다.
식 (1)에서 K는 시스템의 속도 오차 상수이자 개루프 이득 계수입니다. 분모의 s는 정상상태 위치 오차를 제거하기 위한 원점의 적분 극점입니다. ω_p1은 관절 기계계의 관성과 점성 마찰에 의해 결정되는 기계적 지배 극점 주파수입니다. ω_p2는 전동기 고정자 권선의 인덕턴스와 저항 또는 내부 전류 제어 루프의 대역폭에 의해 형성되는 전기적 극점 주파수입니다. 본 해석 예제의 매개변수는 식 (2)와 같이 설정합니다.
주파수 응답을 해석하기 위하여 라플라스 연산자에 식 (3)을 대입하면 식 (4)와 같이 주파수 영역 전달함수를 얻습니다.
식 (4)에 따라 주파수 ω가 0에서 무한대로 변화함에 따라 전달함수의 크기와 위상이 어떻게 변화하는지 평면상에 나타낸 그래프가 보드 선도입니다. 보드 선도는 복잡한 복소수 연산을 로그 스케일의 덧셈과 뺄셈으로 단순화하여 제어기의 안정도와 동특성을 신속하게 파악할 수 있는 유용한 도구입니다.
극점과 영점이 보드 선도 점근선에 미치는 영향
보드 선도는 주파수 축을 로그 스케일로 설정하고, 크기 선도는 데시벨(dB) 단위로, 위상 선도는 각도(°) 단위로 각각 분리하여 작도합니다. 전달함수를 구성하는 개별 요소인 직류 이득, 원점 극점 및 영점, 실수 극점 및 영점은 각각 고유한 크기 기울기와 위상 변화를 유발합니다. 이러한 특성을 이해하면 복잡한 수치 계산 없이도 점근선을 이용하여 전체 주파수 응답의 개형을 손쉽게 도출할 수 있습니다.
첫째, 원점의 적분 극점은 주파수와 무관하게 위상을 항상 -90° 지연시키는 역할을 합니다. 크기 선도에서는 주파수가 10배 증가할 때마다 크기가 20 dB씩 감소하므로 모든 주파수 대역에서 -20 dB/dec의 일정한 점근선 기울기를 유지합니다.
둘째, 1차 실수 극점은 절점 주파수 이전 대역에서는 0 dB의 수평선을 유지하다가 절점 주파수 이후 대역에서 점근선 기울기를 -20 dB/dec만큼 감소시키는 특성을 보입니다. 위상은 절점 주파수의 10분의 1 지점부터 지연되기 시작하여 절점 주파수에서 정확히 -45°를 나타내며, 10배 주파수 지점에서 -90°로 수렴합니다.
셋째, 1차 실수 영점은 절점 주파수 이후 대역에서 크기 점근선 기울기를 +20 dB/dec만큼 증가시키며 위상을 최대 +90°까지 진상시키는 역할을 합니다. 로봇 관절 제어기 설계에서 위상 진상 보상기(Lead Compensator)를 추가하는 이유는 영점의 위상 진상 효과를 활용하여 위상 여유를 확보하고 과도 진동을 감쇠시키기 위함입니다.
식 (4)에 제시된 개루프 전달함수의 전체 크기 응답을 데시벨 단위로 전개하면 식 (5)와 같습니다.
동일한 방식으로 전체 위상 응답을 각 요소의 위상 합으로 나타내면 식 (6)과 같습니다.
식 (5)와 식 (6)을 활용하면 각 절점 주파수에서 크기 선도의 기울기 변화와 위상 지연량을 정량적으로 파악할 수 있습니다.
주파수별 점근선 작도와 크기 및 위상 계산
로봇 관절 전달함수의 보드 선도 점근선을 작도하기 위해 시스템의 절점 주파수를 기준으로 주파수 대역을 분할합니다. 본 모델에서 절점 주파수는 식 (7)과 같이 두 개입니다.
이에 따라 전체 주파수 영역은 세 개의 구간으로 구분합니다.
첫 번째 구간은 10 rad/s 미만의 저주파 대역입니다. 이 구간에서는 두 실수 극점의 영향이 미미하므로 원점 극점과 이득 계수가 크기 선도를 지배합니다. 점근선 기울기는 -20 dB/dec를 유지합니다. 기준 주파수인 1 rad/s에서 점근선 크기 값은 26.02 dB입니다. 첫 번째 절점 주파수인 10 rad/s에 도달하면 주파수가 1 decade 증가하였으므로 점근선 크기는 20 dB 감소하여 6.02 dB를 기록합니다.
두 번째 구간은 10 rad/s 이상 100 rad/s 미만의 중주파 대역입니다. 첫 번째 극점인 10 rad/s를 통과하면서 점근선 기울기에 -20 dB/dec가 추가되어 전체 기울기는 -40 dB/dec로 가파르게 변화합니다. 주파수가 10 rad/s에서 100 rad/s로 1 decade 증가하는 동안 크기는 40 dB 급감합니다. 따라서 100 rad/s에서 점근선 크기 값은 -33.98 dB를 기록합니다.
세 번째 구간은 100 rad/s 이상의 고주파 대역입니다. 두 번째 극점인 100 rad/s를 지나면서 추가로 -20 dB/dec의 기울기가 더해져 최종 점근선 기울기는 -60 dB/dec를 형성합니다.
점근선 크기가 0 dB를 통과하는 주파수를 점근선 이득 교차 주파수라고 정의합니다. 0 dB 지점은 6.02 dB와 -33.98 dB 사이에 위치하므로 두 번째 구간에서 발생합니다. 점근선 크기 식을 0으로 두고 관계식을 세우면 식 (8)과 같습니다.
식 (8)을 풀면 log10(ω / 10) = 0.1505가 성립합니다. 이를 통해 산출한 점근선 이득 교차 주파수는 14.14 rad/s입니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.