보드 선도 해석, 로봇 관절 전달함수 점근선 작도와 위상 여유 계산 2편

이 글은 보드 선도 해석, 로봇 관절 전달함수 점근선 작도와 위상 여유 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 이득 교차 주파수와 위상 여유 및 이득 여유 산출, 맺음말을 설명합니다.

로봇 관절 구동계 전달함수의 이득 교차 주파수(12.42 rad/s)와 위상 여유(31.76°), 위상 교차 주파수(31.62 rad/s)와 이득 여유(14.81 dB)를 정량 계산하고, 부족한 위상 여유를 개선하기 위한 위상 진상 보상기 및 노치 필터 설계 대책을 보여줍니다.

이득 교차 주파수와 위상 여유 및 이득 여유 산출

점근선으로 개형을 파악한 후에는 제어 시스템의 엄밀한 안정도를 평가하기 위해 실제 전달함수 식을 기반으로 이득 교차 주파수(ω_gc), 위상 교차 주파수(ω_pc), 위상 여유(PM), 이득 여유(GM)를 정량적으로 계산합니다.

먼저 위상 교차 주파수는 시스템의 위상이 정확히 -180°가 되는 주파수로 정의합니다. 1편의 식 (6)의 위상 응답 식에 위상 교차 조건을 적용하여 삼각함수의 덧셈정리로 정리하면 식 (9)와 같은 간결한 관계식을 유도할 수 있습니다.

ω_{pc} = \sqrt{ω_{p1} \cdot ω_{p2}}

(9)

식 (9)에 기계적 극점 주파수 10 rad/s와 전기적 극점 주파수 100 rad/s를 대입하면 위상 교차 주파수는 31.62 rad/s로 도출할 수 있습니다.

이득 여유는 위상 교차 주파수에서 시스템 크기의 역수를 데시벨로 표현한 값이며 식 (10)과 같이 정의합니다.

GM = - 20 \cdot log10 (| G (j \cdot ω_{pc}) H (j \cdot ω_{pc}) |)

(10)

위상 교차 주파수인 31.62 rad/s에서 실제 크기 응답은 0.1818이며 데시벨 값은 -14.81 dB입니다. 따라서 식 (10)에 대입하여 계산한 이득 여유는 +14.81 dB입니다.

다음으로 실제 이득 교차 주파수는 시스템의 실제 크기가 1(0 dB)이 되는 주파수입니다. 크기 조건을 수식으로 나타내면 식 (11)과 같습니다.

| G (j \cdot ω_{gc}) H (j \cdot ω_{gc}) | = \frac{K}{(ω_{gc} \cdot \sqrt{1 + {\frac{ω_{gc}}{ω_{p1}}}^{2}} \cdot \sqrt{1 + {\frac{ω_{gc}}{ω_{p2}}}^{2}})} = 1

(11)

식 (11)에 K = 20, ω_p1 = 10 rad/s, ω_p2 = 100 rad/s를 대입하여 수치 해석적으로 해를 구하면 실제 이득 교차 주파수는 12.42 rad/s로 산출할 수 있습니다. 점근선으로 예측한 14.14 rad/s와 비교할 때 실제 곡선의 연속적인 굴곡에 의해 약간 낮은 주파수에서 0 dB와 교차함을 확인할 수 있습니다.

위상 여유는 이득 교차 주파수에서 시스템 위상이 -180°로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내며 식 (12)로 정의합니다.

PM = 180 ° + ∠ G (j \cdot ω_{gc}) H (j \cdot ω_{gc})

(12)

이득 교차 주파수인 12.42 rad/s에서 시스템의 실제 위상은 -148.24°입니다. 이를 식 (12)에 대입하여 계산한 위상 여유는 31.76°입니다.

맺음말

본 글에서는 로봇 관절 구동계의 개루프 전달함수를 바탕으로 보드 선도의 점근선 작도 원리를 살펴보고, 이득 교차 주파수와 위상 교차 주파수 및 안정도 여유를 정량적으로 계산하였습니다. 도출된 계산 결과를 종합하면 실제 이득 교차 주파수는 12.42 rad/s, 위상 여유는 31.76°, 위상 교차 주파수는 31.62 rad/s, 이득 여유는 14.81 dB입니다.

일반적인 제어공학 실무에서 권장하는 안정도 판정 기준은 위상 여유 45° 이상 60° 이하, 이득 여유 6 dB 이상 10 dB 이상입니다. 본 해석 대상 시스템의 경우 이득 여유는 14.81 dB로 기준을 충족하여 시스템이 발산 불안정에 빠질 위험은 낮습니다. 그러나 위상 여유는 31.76°로 권장 하한선인 45°에 미치지 못합니다. 위상 여유가 부족하면 로봇 관절이 목표 각도로 이동할 때 오버슈트가 발생하고 정정 시간이 길어지며 과도 진동이 지속되는 문제를 초래합니다.

따라서 로봇 관절 제어 실무에서는 다음과 같은 공학적 요소를 면밀히 검토해야 합니다. 첫째, 부족한 위상 여유를 보상하기 위해 영점을 포함하는 위상 진상 보상기나 비례 미분 제어기를 직렬 결합하여 이득 교차 주파수 부근의 위상을 최소 15° 이상 확보해야 합니다. 둘째, 로봇 팔의 기구부 강성과 감속기의 비틀림 탄성으로 인해 고주파 대역에서 기계 공진 모드가 발생할 수 있습니다. 기계 공진 피크가 보드 선도의 크기 선도를 0 dB 위로 끌어올리면 위상 여유가 급격히 잠식되므로 노치 필터를 적용하여 공진 주파수 성분을 감쇠시켜야 합니다. 셋째, 디지털 제어기의 샘플링 주기와 센서 필터링에 수반되는 시간 지연은 주파수에 비례하여 위상 지연을 누적시키므로, 실제 이산시간 구현 시 연속시간 해석치보다 위상 여유가 추가로 감소한다는 점을 설계 마진에 반드시 반영해야 합니다.

이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 정착 시간과 상승 시간, 7.5kW 인버터 드라이브 속도 제어 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=244

이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.

이득 교차 주파수와 위상 여유 및 이득 여유 산출

맺음말

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