이 글은 유지기 지연 모델, 5.5kW 유도 전동기 1.5샘플 지연과 위상 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 5.5kW 유도 전동기 전류 제어기 보상 계산 예제, 맺음말을 설명합니다.
5.5kW 유도 전동기 전류 제어기 보상 계산 예제
정격 전압 380V, 정격 전류 11.5A, 정격 주파수 60Hz 사양을 갖는 5.5kW 유도 전동기 인버터 제어 시스템을 예로 들어 정량적인 지연과 보상 값을 계산합니다. 해당 시스템의 인버터 스위칭 주파수와 전류 제어기 샘플링 주파수가 f_s = 10000Hz(T_s = 100μs)로 설정된 경우를 적용합니다. 이때 디지털 제어 루프의 총 지연 시간 T_d는 150μs입니다.
첫째로 5.5kW 유도 전동기가 정격 기본파 주파수 f_e = 60Hz로 회전할 때 전압 지령에서 발생하는 위상 지연각을 1편의 식 (6)에 대입하여 계산합니다. 계산 결과 Δθ_60 값은 3.24°입니다. 이때 크기 감쇠율은 0.99994가 되어 크기 왜곡은 0.01% 미만으로 매우 작습니다.
그러나 기본파 주파수에서 발생하는 3.24°의 위상 지연은 동기 회전 좌표계(d-q축)에서 전압 지령 벡터의 방향을 틀어지게 만들어 d축 자속 전류와 q축 토크 전류 간의 불필요한 간섭을 유발합니다. 이를 보상하기 위해 회전 동기좌표계에서 인버터 전압 지령을 정지좌표계로 역변환할 때 1.5 * T_s에 해당하는 각도를 미리 앞당겨 주는 전향 보상 각도 θ_comp를 식 (7)과 같이 적용합니다.
식 (7)에서 θ_e는 회전 자속의 현재 전기각이며, ω_e는 전기적 각주파수입니다. 식 (7)을 통해 계산한 보상 각도를 역좌표 변환에 적용하면 1.5 * T_s 지연에 의한 기본파 전압 위상 오차를 실시간으로 완전히 제거할 수 있습니다.
둘째로 전류 제어기의 과도 응답 대역폭 f_c = 500Hz에서의 위상 지연을 계산합니다. 1편의 식 (6)에 대입하면 Δθ_500 값은 27.0°입니다. 이때 크기 감쇠율은 0.9959로 약 0.41%의 미세한 크기 감소가 발생합니다. 제어 시스템의 안정성을 보장하기 위해 목표 위상 여유(Phase Margin)를 60° 이상으로 확보하고자 할 때, 개루프 전달함수의 위상 응답으로부터 제어 대역폭의 상한선을 유도하면 식 (8)과 같습니다.
식 (8)에 T_s = 100μs를 대입하면 전류 제어 대역폭 f_c는 최대 555.56Hz 이하로 제한해야 합니다. 따라서 500Hz로 설정된 대역폭은 위상 지연 27.0°를 포함하더라도 63.0°의 위상 여유를 확보하여 안정적인 제어 성능을 유지합니다.
맺음말
디지털 제어기 기반의 5.5kW 유도 전동기 인버터 시스템에서 영차 유지기(ZOH)와 연산 시간으로 인해 발생하는 1.5 * T_s 지연 모델을 체계적으로 도출하고 정량적 수치를 계산했습니다. 10kHz 샘플링 주기(T_s = 100μs) 조건에서 1.0 * T_s 연산 지연과 0.5 * T_s ZOH 지연이 결합하여 총 150μs의 시간 지연이 발생함을 확인했습니다.
이로 인해 60Hz 기본파 운전 시 3.24°의 전압 위상 지연이 발생하며, 이는 동기 회전 좌표계 역변환 시 식 (7)의 각도 전향 보상식을 적용하여 완벽히 상쇄할 수 있습니다. 또한 500Hz 제어 대역폭에서는 27.0°의 위상 지연이 발생하므로, 위상 여유 60° 이상을 안정적으로 유지하기 위해서는 전류 제어 대역폭을 샘플링 주파수의 1/18 수준인 555.56Hz 이하로 엄격히 제한하여 설계해야 합니다.
실무 펌웨어 구현 시에는 인터럽트 서비스 루틴(ISR)의 실행 시간 변동으로 인한 지터를 최소화하고, 고속 약계자 제어 영역으로 갈수록 기본파 위상 오차가 토크 저하 및 제어 불안정으로 이어질 수 있으므로 좌표변환 각도 전향 보상을 누락 없이 적용하는 것이 필수적입니다.
이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 이산화 방법 비교, 로봇 관절 제어기 후방 오일러와 투스틴 변환 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=185
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.