이 글은 유지기 지연 모델, 5.5kW 유도 전동기 1.5샘플 지연과 위상 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 디지털 제어 시스템의 지연 요소와 유지기 모델링, 1.5 샘플 지연의 발생 원인과 전달함수 유도, sinc 함수 크기 감쇠와 주파수별 위상 환산을 다룹니다.
디지털 제어 시스템의 지연 요소와 유지기 모델링
디지털 제어기를 기반으로 5.5kW 유도 전동기 인버터를 구동할 때 제어기는 연속적인 아날로그 신호를 직접 처리하지 않고 정해진 주기마다 이산적으로 샘플링하여 연산합니다. 아날로그 제어기에서는 연산 회로의 지연이 거의 없어 전압 지령이 즉각적으로 PWM 신호에 반영되지만, 디지털 제어 시스템에서는 샘플링과 연산 및 PWM 레지스터 갱신이라는 이산화 절차로 인해 필연적인 시간 지연이 발생합니다.
디지털 전류 제어 루프의 지연 요소는 크게 마이크로컨트롤러 내부 연산 시간에 따른 전송 지연(Transport Delay)과 디지털 지령을 아날로그 물리량으로 유지하는 영차 유지기(Zero-Order Hold, ZOH)에 의한 지연으로 구분할 수 있습니다. 영차 유지기는 샘플링된 이산 신호 값을 다음 샘플링 시점까지 일정하게 유지하는 기구이며, 시간 영역에서의 임펄스 응답은 폭이 샘플링 주기 T_s인 구형파 펄스 형태로 존재합니다. 영차 유지기의 연속 라플라스 전달함수는 식 (1)과 같이 단위 계단 함수의 시간 차분 형태로 유도할 수 있습니다.
식 (1)에서 T_s는 디지털 제어기의 샘플링 주기를 나타내며, s는 라플라스 복소 변수를 의미합니다. 영차 유지기는 제어기가 계산한 전압 지령을 한 주기 동안 평탄하게 출력하도록 유지하는 역할을 수행합니다. 이러한 유지 동작은 이상적인 순시 인가와 비교할 때 반 주기(0.5 * T_s)에 해당하는 평균적인 시간 지연을 시스템에 부가합니다. 여기에 ADC 변환 및 제어 알고리즘 연산에 소요되는 1주기(1.0 * T_s) 지연이 더해지면서 디지털 제어 루프의 전체 지연 특성을 결정합니다.
1.5 샘플 지연의 발생 원인과 전달함수 유도
디지털 모터 인버터 제어기에서 가장 널리 사용하는 방식은 PWM 캐리어의 정점(Peak) 또는 저점(Valley)에서 전류를 샘플링하고 인터럽트를 발생시키는 동기 샘플링 방식입니다. 이 방식은 스위칭 리플의 평균점에서 전류를 검출하므로 노이즈에 강인한 장점이 있습니다. 그러나 검출된 전류를 기반으로 d-q축 전류 제어 알고리즘을 수행한 연산 결과는 즉시 PWM 레지스터에 인가되지 못합니다.
연산 도중에 PWM 비교 레지스터를 변경하면 비대칭 펄스나 전압 글리치가 발생하여 전력 반도체 스위치에 무리를 줄 수 있으므로, 계산된 전압 지령은 다음 PWM 주기가 시작되는 시점에 일괄적으로 갱신합니다. 따라서 제어기가 전류를 감지한 시점부터 해당 전압 지령이 실제 PWM 출력으로 나타나기 시작하는 시점까지 정확히 1.0 샘플 주기(1.0 * T_s)의 연산 지연이 발생합니다. 연산 지연의 전달함수는 순수 시간 지연 형태인 식 (2)로 표현할 수 있습니다.
식 (2)의 연산 지연과 더불어 갱신된 전압 지령은 영차 유지기에 의해 한 샘플 주기 동안 동일한 크기를 유지하며 출력합니다. 한 주기 동안 일정한 크기를 유지하는 직사각형 펄스의 시간적 중심은 0.5 * T_s 지점에 위치하므로, 영차 유지기는 평균적으로 0.5 * T_s의 지연 효과를 유발합니다. 따라서 연산 지연 1.0 * T_s와 영차 유지기 평균 지연 0.5 * T_s가 결합하여 디지털 제어기 전체의 총 등가 지연 시간 T_d는 1.5 * T_s를 형성합니다. 이를 연속 시간 영역의 등가 전달함수로 모델링하면 식 (3)과 같습니다.
식 (3)에서 유도한 1.5 * T_s 지연 모델은 디지털 인버터의 전류 제어기를 아날로그 연속 도메인에서 설계하거나 주파수 응답을 해석할 때 가장 핵심적인 기준 모델로 사용합니다.
sinc 함수 크기 감쇠와 주파수별 위상 환산
영차 유지기(ZOH)는 시간 지연뿐만 아니라 주파수 영역에서 출력 신호의 크기를 감쇠시키는 특성을 함께 가지고 있습니다. 식 (1)의 영차 유지기 전달함수에 식 (4)를 대입하여 주파수 응답 함수를 유도하면 오일러 공식을 통해 크기 성분과 위상 성분으로 분리할 수 있습니다.
식 (5)에서 f는 신호의 주파수이고, f_s는 샘플링 주파수를 의미합니다. 식 (5)의 지수항은 영차 유지기가 주파수와 무관하게 정확히 0.5 * T_s의 순수 위상 지연을 발생시킴을 수학적으로 증명합니다. 동시에 삼각함수 항은 주파수가 높아질수록 전압 지령의 실효 크기가 점진적으로 감소함을 의미합니다.
연산 지연과 영차 유지기 지연이 결합된 총 1.5 * T_s 지연에 의해 임의의 주파수 f에서 발생하는 총 위상 지연각 Δθ는 식 (6)을 통해 각도 단위로 환산할 수 있습니다.
식 (6)에서 ω는 각주파수를 나타내며, 결과값의 단위는 도(°)입니다. 식 (6)은 제어 신호의 주파수 f가 높아질수록 시스템의 위상 지연각이 선형적으로 급격히 증가함을 명확히 보여주고 있습니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.