이 글은 래그 보상기 설계, 5kW 연료전지 저주파 이득과 정상상태 오차 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 연료전지 전압 강하와 래그 보상기의 제어 역할, 저주파 이득 증대와 개선비 β 산정, 위상 지연 최소화를 위한 극영점 주파수 배치를 다룹니다.
연료전지 전압 강하와 래그 보상기의 제어 역할
5kW급 연료전지 시스템은 화학 반응 에너지를 직접 전기 에너지로 변환하는 고효율 분산 전원입니다. 하지만 연료전지는 부하 전류가 증가함에 따라 전해질 내부의 옴 저항에 의한 손실과 전기화학 반응 지연에 따른 활성화 손실이 복합적으로 작용하여 출력 전압이 급격하게 저하되는 고유의 분극 특성을 나타냅니다. 정격 출력 5kW 영역에서 부하가 급증하면 단자 전압 강하 폭이 매우 커지므로, 시스템의 안정적인 전력 공급을 위해서는 전압 제어 루프의 정상상태 오차를 목표 수준 이하로 엄격하게 억제해야 합니다.
정상상태 오차를 줄이기 위해 단순히 비례 제어 이득을 무리하게 증대시키는 방식은 실무적으로 심각한 부작용을 초래합니다. 직류 영역의 이득뿐만 아니라 고주파 대역의 이득까지 동시에 상승하여 크로스오버 주파수가 지나치게 높은 영역으로 이동하기 때문입니다. 이는 스위칭 잡음 증폭을 유발하고 시스템의 위상 여유를 급격히 감소시켜 제어 루프의 진동을 발생시키거나 폐루프 불안정을 초래합니다.
이러한 한계를 극복하기 위해 크로스오버 주파수와 위상 여유를 유지하면서 저주파 영역의 직류 이득만을 선택적으로 증대시키는 래그 보상기 설계가 필수적으로 요구됩니다. 래그 보상기는 주파수 응답에서 극점이 영점보다 허수축에 더 가깝게 위치하는 구조를 가집니다. 래그 보상기의 표준 전달함수는 아래 식 (1)과 같이 정의됩니다.
식 (1)에서 z는 보상기의 영점 주파수이고 p는 극점 주파수입니다. 래그 보상기는 극점의 크기가 영점의 크기보다 항상 작은 관계를 유지하며, 이로부터 저주파 이득 개선비 β가 결정됩니다.
식 (2)에서 정의된 개선비 β에 따라 직류 저주파 영역에서 이득이 β 배만큼 증대되며, 고주파 영역에서는 전달함수의 크기가 1로 수렴하여 고주파 대역폭과 스위칭 잡음 감쇠 특성을 보존합니다.
저주파 이득 증대와 개선비 β 산정
5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 제어 대상인 플랜트의 개루프 전달함수를 고려합니다. 연료전지 스택 및 출력 필터 계통을 포함한 전달함수 G(s)는 주극점 10 rad/s 와 고주파 극점 500 rad/s 를 갖는 2차 시스템으로 모델링됩니다.
식 (3)에서 라플라스 변수 s를 0으로 설정하여 보상 전 플랜트의 저주파 직류 이득을 산출합니다.
식 (4)의 연산 결과 기존 비보상 시스템의 개루프 직류 이득은 9로 확인됩니다. 단위 계단 기준 신호가 인가되었을 때 비보상 제어 시스템이 나타내는 정상상태 오차 e_ss는 아래 식 (5)를 통해 계산됩니다.
식 (5)에서 확인되는 기존 정상상태 오차는 0.1로서, 연료전지 정격 출력 전압에 대해 10% 수준의 정상상태 오차가 잔류함을 의미합니다. 5kW 부하 변동 시 요구되는 전압 품질을 확보하기 위해 목표 정상상태 오차 사양을 1.1% 이하로 설정합니다.
이 사양을 달성하기 위해 필요한 저주파 직류 이득 개선비 β를 10으로 산정합니다. 개선비 β가 10으로 확정되면 주파수 응답의 저주파 영역에서 20 dB 의 이득 증대가 이루어집니다. 래그 보상기가 직렬 결합된 시스템의 합성 직류 이득을 산출합니다.
식 (6)에서 산출된 새로운 직류 이득 90을 적용하여 보상 후의 개선된 정상상태 오차를 계산합니다.
식 (7)의 계산 결과 새로운 정상상태 오차는 약 0.011로 대폭 감소하여 목표 사양인 1.1%를 안정적으로 충족합니다. 연료전지 전력 변환 시스템의 저주파 이득을 10배 증대시킴으로써 부하 전류 급증에 따른 전압 강하 편차를 10분의 1 수준으로 감쇠시킵니다.
위상 지연 최소화를 위한 극영점 주파수 배치
래그 보상기 설계에서 가장 중요한 핵심은 저주파 이득을 10배 끌어올리면서도 시스템의 크로스오버 주파수 부근에서 위상 여유를 훼손하지 않는 것입니다. 래그 보상기는 주파수 지연 구조로 인해 위상 지연을 발생시키므로, 이 위상 지연이 제어 대역폭에 악영향을 주지 않도록 극점과 영점의 주파수를 크로스오버 주파수보다 훨씬 낮은 대역에 배치해야 합니다.
5kW 연료전지 전력 변환 시스템의 목표 크로스오버 주파수 ω_c는 100 rad/s 로 설정됩니다. 크로스오버 주파수 부근에서 발생하는 추가 위상 지연을 5° 내외로 억제하기 위해, 보상기의 영점 주파수 z를 크로스오버 주파수의 10분의 1 지점에 배치합니다.
식 (8)에 따라 보상기의 영점 주파수는 10 rad/s 로 결정됩니다. 이어서 앞서 산정한 이득 개선비 β = 10의 관계식을 이용하여 극점 주파수 p를 산출합니다.
식 (9)에 따라 극점 주파수는 1 rad/s 로 확정됩니다. 도출된 파라미터를 식 (1)에 대입하여 래그 보상기의 최종 전달함수를 완성합니다.
식 (10)으로 정의된 래그 보상기가 크로스오버 주파수 100 rad/s 에서 유발하는 위상각을 정량적으로 검증합니다.
식 (11)에 크로스오버 주파수 100 rad/s, 영점 주파수 10 rad/s, 극점 주파수 1 rad/s 를 대입하여 연산합니다. arctan(10)은 84.29° 이고 arctan(100)은 89.43° 이므로 위상차는 -5.14° 로 계산됩니다. 이 수치는 크로스오버 주파수 부근에서의 추가 위상 지연이 약 5.14° 에 불과함을 입증하며, 위상 여유 손실을 5° 내외로 억제한다는 설계 요구조건을 완벽히 만족합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.