이 글은 노치 필터 적용, 55kW 산업용 인버터 기계 공진 억제와 깊이 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 55kW 인버터 드라이브의 기계 공진과 2관성계 모델, 2차 노치 필터의 전달함수와 깊이 및 대역폭 계산, 노치 필터 삽입에 따른 위상 손실과 안정도 해석을 다룹니다.
55kW 인버터 드라이브의 기계 공진과 2관성계 모델
55kW급 산업용 인버터 드라이브 시스템은 전동기 회전자와 대형 감속기, 롤러 또는 펌프와 같은 기계 부하가 긴 구동축이나 탄성 커플링으로 결합하는 구조를 갖습니다. 이때 구동축의 유한한 비틀림 강성(Stiffness)으로 인하여 전동기와 부하 사이에 2관성계(2-Mass System) 진동 특성이 발생합니다. 인버터의 속도 제어기 대역폭을 높이면 기계 축의 고유 진동수 부근에서 급격한 이득 상승이 유발되어 심각한 기계 공진(Resonance)과 가청 소음이 발생합니다.
기계 공진을 억제하기 위해서는 먼저 2관성 기계 시스템의 운동 방정식을 기반으로 공진 주파수와 반공진 주파수를 수학적으로 정확히 도출해야 합니다. 전동기 관성 모멘트를 J_M, 부하 관성 모멘트를 J_L, 축 비틀림 강성을 K_s라고 할 때, 전동기 토크에서 전동기 속도까지의 전달함수에 존재하는 공진 주파수(f_res)는 식 (1)과 같이 정의합니다.
또한 부하 측 진동이 전동기 축으로 전달되지 않아 전달함수의 이득이 급격히 감소하는 반공진 주파수(f_ares)는 식 (2)와 같이 표현합니다.
본 예제인 55kW 산업용 유도 전동기 구동 시스템의 파라미터를 전동기 관성 모멘트 0.4 kg·m^2, 부하 관성 모멘트 1.2 kg·m^2, 축 비틀림 강성 473741 N·m/rad로 설정합니다. 식 (1)에 해당 파라미터를 대입하여 계산하면 등가 관성 모멘트 J_eq = 0.3 kg·m^2를 도출하며, 공진 각주파수는 약 1256.64 rad/s로 산출하여 공진 주파수 f_res = 200 Hz를 얻습니다.
반면 식 (2)에 따라 계산한 반공진 주파수는 f_ares = 100 Hz로 결정합니다. 속도 제어기 루프의 이득 교차 주파수가 200 Hz 부근에 도달하면 위상 여유가 급격히 상실되고 폐루프 극점이 불안정 영역으로 이동하므로, 제어 루프 내에 특정 주파수 성분만 급격히 감쇠시키는 고전 보상기인 노치 필터(Notch Filter)를 반드시 삽입해야 합니다.
2차 노치 필터의 전달함수와 깊이 및 대역폭 계산
산업용 인버터 드라이브에서 기계 공진을 제거하기 위해 적용하는 표준 2차 연속시간 노치 필터의 전달함수 G_n(s)는 영점(Zero)과 극점(Pole)의 감쇠비를 독립적으로 조정할 수 있는 구조를 갖습니다. 연속 도메인에서의 노치 필터 전달함수는 식 (3)과 같이 정의합니다.
식 (3)에서 ω_n은 노치 중심 각주파수이며, ζ_z는 영점 감쇠비이고, ζ_p는 극점 감쇠비입니다. 저주파 영역과 고주파 영역에서 필터의 직류 이득은 1(0 dB)로 유지하며, 오직 중심 주파수 ω_n 대역에서만 이득이 급격히 감소합니다.
노치 필터의 감쇠 깊이(Depth, d)는 중심 주파수 ω = ω_n에서의 크기 응답으로 정의하며, 영점 감쇠비와 극점 감쇠비의 비율에 의해 식 (4)와 같이 결정합니다.
데시벨(dB) 단위로 표현하는 노치 필터의 감쇠 이득 k는 식 (5)와 같이 계산합니다.
55kW 인버터 시스템의 공진 주파수인 200 Hz에 맞추어 노치 중심 각주파수를 1256.64 rad/s로 설정합니다. 공진 피크의 진폭을 -20 dB 수준으로 억제하고자 하는 경우, 식 (5)에 따라 감쇠 깊이 d = 0.1이 필요합니다.
극점 감쇠비를 일반적인 필터 형상 기준인 ζ_p = 0.5로 선정하면, 식 (4)에 따라 영점 감쇠비는 ζ_z = 0.05로 계산합니다. 노치 필터의 품질계수(Quality Factor) Q는 식 (6)과 같이 정의하여 1.0의 값을 갖습니다.
또한 -3 dB 차단 대역폭(BW)은 식 (7)과 같이 정의하며, 약 1256.64 rad/s(200 Hz)로 형성합니다.
극점 감쇠비를 지나치게 작게 설정하면 공진점 주위의 대역폭이 지나치게 좁아져 기계 파라미터 변동에 취약해지고, 지나치게 크게 설정하면 저주파 대역으로의 위상 지연이 급증하므로 적절한 감쇠비 선정이 필수적입니다.
노치 필터 삽입에 따른 위상 손실과 안정도 해석
노치 필터는 공진 주파수에서의 이득 급상승을 효과적으로 제거하지만, 필터 고유의 복소 영점과 극점 배치로 인하여 중심 주파수 이하의 제어 대역에서 필연적인 위상 지연(Phase Lag), 즉 위상 손실을 유발합니다. 노치 필터의 주파수 응답에 따른 위상각 함수 φ(ω)는 식 (8)과 같이 유도합니다.
중심 주파수보다 낮은 주파수 대역(ω < ω_n)에서는 분모 항인 (ω_n^2 – ω^2)이 양수이며, 극점 감쇠비가 영점 감쇠비보다 크므로(ζ_p > ζ_z) 항상 음의 위상각이 발생합니다. 이는 속도 제어 루프의 이득 교차 주파수에서 위상 여유(Phase Margin)를 직접적으로 감소시키는 요인으로 작용합니다.
55kW 인버터 속도 제어기의 교차 주파수를 f_gc = 40 Hz(ω_gc = 251.33 rad/s)로 설계한 경우, 해당 주파수에서 노치 필터에 의해 발생하는 위상 지연을 계산합니다. 앞서 설계한 파라미터(ω_n = 1256.64 rad/s, ζ_z = 0.05, ζ_p = 0.5)를 식 (8)에 대입하여 계산을 수행합니다.
첫 번째 아크탄젠트 성분은 영점 감쇠비에 의해 약 1.19°로 나타나고, 두 번째 아크탄젠트 성분은 극점 감쇠비에 의해 약 11.77°의 값을 갖습니다. 두 값의 차이에 의해 40 Hz 대역에서 발생하는 순수 위상 지연은 약 -10.58°로 산출합니다.
속도 제어 루프의 초기 설계 위상 여유가 55°였다면, 노치 필터 삽입 후 실효 위상 여유는 44.42°로 감소합니다. 위상 여유가 45° 미만으로 떨어지면 속도 응답 시 오버슈트가 발생하고 정정 시간이 길어지므로, 속도 비례-적분(PI) 제어기 게인을 재조정하거나 노치 폭을 최적화하여 제어 안정성을 확보해야 합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.