이 글은 노치 필터 적용, 55kW 산업용 인버터 기계 공진 억제와 깊이 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 쌍선형 변환을 이용한 디지털 노치 필터 이산화 구현, 맺음말을 설명합니다.
쌍선형 변환을 이용한 디지털 노치 필터 이산화 구현
산업용 인버터 드라이브의 제어 알고리즘은 디지털 신호 처리기(DSP) 또는 마이크로컨트롤러(MCU)에서 이산 시간(Discrete-time)으로 실행합니다. 따라서 연속시간 전달함수 G_n(s)를 디지털 도메인 Z-전달함수 H(z)로 변환하는 이산화 과정이 필요합니다. 이때 널리 사용하는 쌍선형 변환(Bilinear Transform 또는 Tustin Approximation)을 적용합니다.
디지털 제어기에서 샘플링 주파수와 공진 주파수 사이의 주파수 왜곡(Frequency Warping) 현상을 보상하기 위해, 연속계 설계 주파수에 프리워핑(Pre-warping) 각주파수 ω_a를 식 (9)와 같이 적용합니다.
여기서 T_s는 인버터 속도 제어 루프의 샘플링 주기입니다. 속도 제어 주기 T_s = 200 μs(샘플링 주파수 f_s = 5 kHz)이고 목표 노치 주파수가 200 Hz(ω_n = 1256.64 rad/s)일 때, 식 (9)에 따라 계산한 프리워핑 각주파수는 ω_a = 1263.30 rad/s로 산출합니다.
연속시간 전달함수의 라플라스 변수 s에 식 (10)의 쌍선형 변환식을 대입하여 2차 IIR(Infinite Impulse Response) 필터 전달함수를 도출합니다.
쌍선형 변환을 거쳐 도출된 Z-도메인 노치 필터 전달함수 H(z)는 식 (11)과 같은 유리함수 형태를 갖습니다.
식 (11)을 최고차 계수 a_0로 정규화한 후 시간 영역의 차분방정식(Difference Equation)으로 정리하면 식 (12)와 같이 제어 펌웨어 코드로 직접 구현합니다.
식 (12)에서 x[n]은 현재 샘플링 시점의 토크 지령 입력이며, y[n]은 공진 성분이 제거되어 전류 제어기로 인가되는 필터 출력입니다. DSP 내부에서 매 제어 주기마다 과거 2회의 입출력 상태 변수를 갱신하여 연산을 수행합니다.
맺음말
55kW 산업용 인버터 드라이브 시스템에서 전동기와 기계 부하 사이의 축 탄성으로 인해 발생하는 200 Hz 기계 공진을 억제하기 위해 2차 노치 필터를 설계하고 이산화하는 과정을 체계적으로 살펴보았습니다. 2관성계 수식 모델을 통해 공진 주파수 200 Hz와 반공진 주파수 100 Hz를 정확히 도출하였으며, -20 dB 감쇠를 달성하기 위해 감쇠 깊이 d = 0.1(ζ_z = 0.05, ζ_p = 0.5)을 산정하였습니다.
또한 노치 필터 추가 시 속도 제어 교차 주파수 40 Hz에서 약 -10.58°의 위상 손실이 발생함을 정량적으로 확인하였으며, 샘플링 주기 200 μs 조건에서 프리워핑을 적용한 쌍선형 변환 차분방정식을 도출하여 실무 디지털 제어기 구현 기준을 완성하였습니다.
실무 현장에서 노치 필터를 적용할 때 주의해야 할 세 가지 핵심 기준은 다음과 같습니다. 첫째, 산업용 부하는 운전 중 원자재 적재나 기계적 마모로 인해 관성 모멘트 J_L이 변동할 수 있으며, 이에 따라 공진 주파수가 이동합니다. 공진 주파수 이동에 대비하여 노치 대역폭(ζ_p)에 적절한 마진을 확보하거나 주파수 추종 알고리즘의 필요성을 검토해야 합니다.
둘째, 노치 깊이를 필요 이상으로 깊게 설정하면(예: -40 dB 이하) 위상 지연이 급격히 증가하여 속도 루프의 위상 여유가 심각하게 감소합니다. 공진 억제에 필요한 최소 감쇠 깊이(보통 -15 dB에서 -25 dB)만을 설정하는 것이 바람직합니다.
셋째, 노치 중심 주파수(200 Hz)와 속도 제어기 대역폭(40 Hz) 사이에 최소 3배 이상의 주파수 분리를 유지해야 위상 간섭에 의한 제어 불안정을 원천적으로 방지할 수 있습니다. 체계적인 수식 계산과 위상 손실 평가를 바탕으로 노치 필터를 적용하면 고성능 산업용 인버터의 기계 공진을 완벽히 억제하고 안정적인 구동 특성을 확보할 수 있습니다.
이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 적분 미분 시정수 정리, 5kW 연료전지 제어기 Ti Tt Td 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=238
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.