이 글은 라우스-허위츠 판별, 55kW 인버터 특성 방정식과 임계 이득 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 산업용 인버터 제어 루프와 특성 방정식 도출, 라우스-허위츠 판별법의 원리와 라우스 배열 작성법, 55kW 인버터 제어기 라우스 배열 계산과 부호 변화 판정을 다룹니다.
산업용 인버터 제어 루프와 특성 방정식 도출
55kW급 산업용 인버터 드라이브는 대용량 유도 전동기와 영구자석 동기 전동기를 구동하는 핵심 전력 제어 장치입니다. 이러한 고출력 구동 시스템에서는 부하 변동에 신속하게 대응하면서도 폐루프 제어계가 불안정해지지 않도록 정밀한 제어기 설계가 필수적으로 필요합니다. 일반적인 속도 제어 시스템은 내부의 고속 전류 제어 루프와 외부의 속도 제어 루프로 구성되는 이중 캐스케이드 구조를 갖추고 있습니다. 이때 전체 시스템의 동특성은 전동기와 기계적 부하의 관성 모멘트, 속도 검출 필터의 시정수, 그리고 내부 전류 제어 루프의 등가 시지연 요소가 결합하여 3차 이상의 고차 시스템으로 나타나는 특성을 보입니다.
기계적 시정수를 반영하는 극점 주파수를 10 rad/s로 설정하고, 전류 제어 루프와 인버터 스위칭 지연을 등가화한 극점 주파수를 50 rad/s로 모델링하면 개루프 전달함수 G(s)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
식 (1)에서 분모의 s는 적분 요소를 의미하며, 두 개의 극점은 각각 기계적 응답 지연과 전기적 지연 요소를 나타내는 지표입니다. 분자의 K는 속도 제어기의 비례 이득과 시스템의 전향 이득을 모두 포함하는 총합 루프 이득입니다. 단위 피드백 구조를 가지는 폐루프 제어계의 특성 방정식은 1 + G(s) = 0으로 정의되며, 분모 다항식을 전개하여 정리하면 다음과 같은 3차 특성 방정식을 얻습니다.
식 (2)에서 도출된 3차 특성 방정식의 근이 복소 평면의 어느 위치에 존재하는지에 따라 55kW 인버터 시스템의 과도 응답과 안정도를 결정합니다. 실제 산업 현장에서는 시운전 전에 특성 방정식의 계수를 정밀하게 분석하여 시스템이 발산하지 않는 이득의 상한을 사전에 파악해야 합니다.
라우스-허위츠 판별법의 원리와 라우스 배열 작성법
라우스-허위츠(Routh-Hurwitz) 안정도 판별법은 고차 특성 다항식의 근을 직접 구하지 않고도 복소 평면의 우반평면(Right Half Plane, RHP)에 존재하는 극점의 유무와 개수를 대수적으로 판별하는 기법입니다. 제어 시스템이 점근적으로 안정하기 위해서는 폐루프 특성 방정식의 모든 극점이 s-평면의 좌반평면(Left Half Plane, LHP)에 위치해야 합니다. 만약 하나의 극점이라도 우반평면에 존재하면 시스템의 출력은 시간에 따라 기하급수적으로 발산하며 제어 불능 상태에 빠질 수 있습니다.
일반적인 3차 연속 시간 시스템의 특성 다항식 q(s)는 다음과 같이 표준형으로 정의할 수 있습니다.
라우스-허위츠 판별을 적용하기 위한 1차 필요조건은 모든 계수 a_3, a_2, a_1, a_0이 존재하고 모두 동일한 양의 부호를 가져야 한다는 점입니다. 만약 계수 중 어느 하나라도 0이거나 음수이면 시스템은 즉시 불안정하거나 임계 안정 상태로 판정할 수 있습니다. 모든 계수가 양수임을 확인한 후에는 충분조건을 검증하기 위해 라우스 배열(Routh Array)을 구성해야 합니다. 3차 시스템에 대한 라우스 배열의 각 행은 s의 최고차항부터 상수항까지 순서대로 배치하는 구조입니다.
s^3 행에는 홀수 차수 계수인 a_3과 a_1을 배치하고, s^2 행에는 짝수 차수 계수인 a_2와 a_0을 배치합니다. 이어서 계산되는 s^1 행의 첫 번째 원소 b_1은 2행과 1행의 계수들을 이용한 행렬식 연산으로 다음과 같이 유도할 수 있습니다.
마지막 s^0 행의 첫 번째 원소 c_1은 s^2 행과 s^1 행의 계수를 바탕으로 계산되며 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
라우스 판정법의 핵심 원리에 따르면 라우스 배열의 제1열에 위치한 원소들(a_3, a_2, b_1, c_1)의 부호 변화 횟수가 곧 우반평면에 존재하는 극점의 개수와 정확히 일치합니다. 따라서 시스템이 점근적 안정을 유지하기 위한 필요충분조건은 제1열의 모든 원소가 양의 부호를 유지하여 부호 변화가 전혀 발생하지 않는 것입니다.
55kW 인버터 제어기 라우스 배열 계산과 부호 변화 판정
앞서 도출한 55kW 산업용 인버터 드라이브의 특성 방정식인 식 (2)에 표준 3차 계수를 대입하여 라우스 배열을 구체적으로 계산합니다. 식 (2)와 식 (3)을 비교하면 a_3 = 1, a_2 = 60, a_1 = 500, a_0 = K로 대응할 수 있습니다. 먼저 필요조건에 따라 모든 계수가 양수이어야 하므로 루프 이득 K는 반드시 0보다 커야 합니다.
다음으로 라우스 배열의 s^3 행에는 1과 500이 위치하며, s^2 행에는 60과 K가 배치됩니다. 식 (4)의 공식을 적용하여 s^1 행의 첫 번째 원소 b_1을 계산하면 다음과 같은 대수식을 도출할 수 있습니다.
식 (6)의 계산 결과에서 분자는 30000 – K이며 분모는 60입니다. 이어서 식 (5)를 통해 구한 s^0 행의 첫 번째 원소 c_1은 상수항인 K와 같습니다. 따라서 55kW 인버터 시스템의 라우스 배열 제1열 원소들은 위에서부터 순서대로 1, 60, (30000 – K) / 60, K로 완성할 수 있습니다.
완성된 라우스 배열의 제1열을 분석하면 첫 번째 원소 1과 두 번째 원소 60은 이미 양수로 확정되어 있습니다. 따라서 시스템이 안정을 유지하고 제1열에서 부호 변화가 0회가 되기 위해서는 세 번째 원소인 b_1과 네 번째 원소인 c_1이 모두 엄격한 양수 조건을 만족해야 합니다. 만약 b_1이 음수가 되면 제1열의 부호가 양수에서 음수로, 다시 음수에서 양수로 바뀌며 2회의 부호 변화가 발생합니다. 이는 s-평면 우반평면에 2개의 불안정 복소 극점이 생성되어 시스템 응답이 제어 한계를 벗어나 진동하며 급격히 발산함을 의미합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.