이 글은 IMC 기반 튜닝, 22kW 유도 전동기 폐루프 시정수와 이득 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 유도 전동기 전류 루프와 IMC 제어 모델, IMC 기반 PI 제어기 이득 수식 유도를 다룹니다.
유도 전동기 전류 루프와 IMC 제어 모델
유도 전동기의 고성능 벡터 제어를 구현하기 위해서는 고정자 좌표계의 전류를 회전자 자속 기준의 동기회전 d-q축 좌표계로 변환하여 제어해야 합니다. 동기회전 d축 전류는 자속 성분을 제어하고 q축 전류는 토크 성분을 독립적으로 제어합니다. 전동기 전압 방정식에는 각속도와 자속 결합에 의한 교차 결합 성분이 존재하므로, 비간섭 역기전력 전향 보상을 적용하여 d축과 q축의 간섭을 제거합니다. 교차 결합 항이 적절히 보상된 상태에서 각 축의 전류 제어 플랜트는 고정자 저항과 등가 과도 누설 인덕턴스로 구성된 1차 저역통과 시스템으로 단순화할 수 있습니다.
식 (1)에서 R_s는 고정자 권선 저항이며 L_σ는 고정자 및 회전자 누설 인덕턴스를 합산한 등가 과도 누설 인덕턴스입니다. 내부 모델 제어(Internal Model Control, IMC)는 제어기 내부에 제어 대상의 수학적 모델을 직접 포함하여 제어기를 설계하는 체계적인 모델 기반 기법입니다. 플랜트의 공칭 모델을 G_m(s)로 정의하고 이상적인 폐루프 전달함수를 설정하기 위해 저역통과 필터 F(s)를 도입합니다.
식 (2)에서 τ_cl은 폐루프 시정수이며 제어 시스템이 목표 전류 지령에 도달하는 응답 속도를 결정하는 단일 튜닝 파라미터입니다. 내부 모델 G_m(s)가 실제 플랜트 G_p(s)와 일치한다고 가정하면, 전체 제어 루프의 응답은 설정한 저역통과 필터 F(s)의 전달함수를 그대로 추종합니다.
IMC 기반 PI 제어기 이득 수식 유도
내부 모델 제어 구조에서 이상적인 내부 제어기 Q(s)는 플랜트 공칭 모델의 역함수와 저역통과 필터 F(s)의 곱으로 설계합니다. 제어 대상 플랜트 G_p(s)의 1차 지연 극점을 상쇄하기 위해 공칭 모델 G_m(s)의 역함수를 취하고, 제어기의 물리적 실현 가능성을 확보하기 위해 1차 필터 F(s)를 결합합니다.
식 (3)으로 정의한 내부 제어기 Q(s)를 고전적인 단일 루프 피드백 제어기 C(s)로 등가 변환하면 표준적인 비례-적분(PI) 제어기 형태를 도출할 수 있습니다. 피드백 제어기 C(s)와 내부 제어기 Q(s)의 관계식에 식 (1)의 모델과 식 (3)의 내부 제어기를 대입하여 정리합니다.
식 (4)의 분모와 분자를 정리하면 제어기 전달함수는 식 (5)의 형태로 전개할 수 있습니다. 이를 전달함수의 비례 항과 적분 항으로 분리하여 비례 이득 K_p와 적분 이득 K_i를 각각 유도합니다.
식 (6)과 식 (7)에서 보듯이 비례 이득과 적분 이득은 모두 전동기의 물리적 파라미터와 폐루프 시정수 τ_cl에 의해 직접 결정합니다. 이때 PI 제어기의 적분 시정수 T_i는 식 (8)과 같이 전동기 고유의 전기적 시정수와 완벽하게 일치합니다.
이는 PI 제어기의 영점(Zero)이 전동기 플랜트의 극점(Pole)을 정확하게 상쇄(Pole-Zero Cancellation)함을 의미하며, 폐루프 시스템은 식 (2)의 1차 지연 전달함수로 정확하게 동작합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.