이 글은 지글러-니콜스 튜닝, 12V 부하 직결 전원 임계 이득과 PID 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 12V 부하 직결 전원의 폐루프 임계 상태 정의, 임계 이득과 임계 진동 주기 측정, 지글러-니콜스 공식을 이용한 PID 파라미터 계산을 다룹니다.
12V 부하 직결 전원의 폐루프 임계 상태 정의
보드 내 부하 직결 전원은 12V 분배 버스 전압을 입력받아 마이크로프로세서와 디지털 집적회로에 정밀한 저전압을 전달하는 핵심 전원단입니다. 부하 소자의 동작 전압이 낮을수록 허용 전압 편차가 좁아지므로, 폐루프 전압 제어기의 응답 속도와 안정도를 동시에 확보하는 작업이 필수적입니다. 지글러-니콜스 주파수 응답법은 제어 대상의 정밀한 전달함수를 도출하기 어려운 환경에서도 폐루프 측정을 통해 제어기 계수를 산출하는 대표적인 한계 감도 튜닝 기법입니다. 이 방법을 적용하기 위한 첫 단계는 제어기 내부의 적분 및 미분 동작을 완전히 배제하는 작업입니다. 적분 시간 T_i를 무한대로 지정하여 적분 동작을 차단하고, 미분 시간 T_d를 0으로 지정하여 미분 동작을 완전히 제거합니다. 그 결과 전압 피드백 루프는 오직 비례 이득만으로 구동되는 순수 비례 제어 구조를 유지합니다.
식 (1)에서 u(t)는 제어기의 제어 출력 신호이며, e(t)는 기준 전압과 부하 전압의 차이인 전압 오차 신호입니다. 비례 이득 K_p만을 유일한 조절 인자로 둔 상태에서 K_p의 크기를 점진적으로 증가시키면 제어 루프의 위상 여유가 지속적으로 감소합니다. 위상 여유가 소진되는 한계 조건에 도달하면 제어 시스템은 감쇠하지도 않고 발산하지도 않는 지속 진동 상태를 형성합니다. 이러한 지속 진동 상태를 제어공학 이론에서는 한계 안정 상태로 정의합니다. 12V 부하 직결 전원 루프가 한계 안정 상태에 도달하면 출력 전압 파형은 일정한 진폭과 일정한 주기를 지속적으로 유지합니다. 이와 같은 한계 진동 조건을 정확하게 유도하는 것이 지글러-니콜스 계수 산정의 출발점입니다.
임계 이득과 임계 진동 주기 측정
한계 안정 상태를 유도하기 위해 12V 부하 직결 전원의 비례 이득 K_p를 0부터 시작하여 매우 작은 증분 단위로 점진적으로 상향 조정합니다. 비례 이득이 작은 영역에서는 외부 부하 변동이나 작은 교란이 유입되더라도 출력 전압의 과도 진동이 빠르게 감쇠하여 정상상태로 수렴합니다. 그러나 비례 이득을 계속해서 높이면 감쇠비가 점차 감소하며, 특정 이득에서 진폭이 감소하지도 않고 커지지도 않는 순수 지속 진동이 발생합니다. 이 시점의 비례 이득을 임계 이득인 K_u로 정의합니다. 그리고 오실로스코프를 사용하여 지속 진동 파형의 한 주기가 경과하는 시간을 정밀하게 측정하고 이를 임계 주기인 T_u로 정의합니다. 만약 비례 이득을 K_u를 초과하여 더 크게 설정하면 진동 진폭이 급증하여 제어 신호가 포화되거나 과전압 보호 회로가 작동하므로 신속하게 측정을 완료해야 합니다.
식 (2)에서 f_u는 임계 상태에서의 진동 주파수인 임계 주파수입니다. 12V 입력 부하 직결 전원의 전압 제어 루프를 시험한 결과, 비례 이득 K_p가 4.0에 도달했을 때 일정한 진폭의 지속 진동이 관측된 상태로 설정합니다. 따라서 해당 전원 회로의 임계 이득 K_u는 4.0으로 확정합니다. 이때 오실로스코프를 통해 관측된 출력 전압의 피크와 피크 사이의 시간 간격은 20 μs로 확인합니다. 이 측정값에 따라 임계 주기 T_u는 20 μs가 되며, 식 (2)에 임계 주기 20 μs를 대입하면 임계 주파수 f_u는 50 kHz로 환산합니다. 이렇게 측정한 K_u와 T_u의 수치는 지글러-니콜스 공식에 대입할 핵심 기준 데이터입니다.
지글러-니콜스 공식을 이용한 PID 파라미터 계산
측정을 통해 취득한 임계 이득 K_u와 임계 주기 T_u를 지글러-니콜스 주파수 응답법 공식에 대입하여 PID 제어기 파라미터를 체계적으로 산출합니다. 지글러-니콜스 한계 감도법에 따른 표준 PID 제어기의 비례 이득 K_p, 적분 시간 T_i, 미분 시간 T_d의 산출 공식은 다음과 같습니다.
식 (3), 식 (4), 식 (5)에 앞서 측정한 임계 이득 K_u = 4.0과 임계 주기 T_u = 20 μs를 순서대로 대입합니다. 식 (3)에 따라 비례 이득 K_p는 0.6 * 4.0을 연산하여 2.4로 계산합니다. 식 (4)에 따라 적분 시간 T_i는 0.5 * 20 μs를 연산하여 10 μs로 계산합니다. 식 (5)에 따라 미분 시간 T_d는 0.125 * 20 μs를 연산하여 2.5 μs로 도출합니다. 이러한 기본 파라미터는 시간 응답 기반의 직렬형 PID 제어 구조에서 루프 제어 성능을 결정하는 핵심 기준 계수입니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.