리졸버 디코딩, 1kW 가전 인버터 동기 복조와 2차 추종 루프 계산 2편

이 글은 리졸버 디코딩, 1kW 가전 인버터 동기 복조와 2차 추종 루프 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 각도 오차 생성과 2차 추종 루프 전달함수 유도, 1kW 가전 인버터 구동 조건 기반 PI 게인 계산 예제를 설명합니다.

리졸버 동기 복조 신호의 삼각함수 교차 곱을 통한 각도 오차 생성, 2차 추종 루프(Type II ATL) 폐루프 전달함수 유도 및 1kW 가전 인버터 구동 조건(10 kHz 여자 주파수, 200 Hz 대역폭, 감쇠비 0.707)에 따른 PI 제어기 게인(Kp = 1777, Ki = 1579144) 계산 흐름을 나타낸 블록 다이어그램입니다.

각도 오차 생성과 2차 추종 루프 전달함수 유도

복조된 2상 신호로부터 회전자 각도를 추정하기 위해 각도 추종 루프(Angle Tracking Loop)를 구성합니다. 단순 아크탄젠트(Arctan) 연산은 연산 부하가 크고 잡음에 취약하므로, 제어 공학에서는 위상 동기 루프(PLL) 구조 기반의 각도 오차 생성기와 비례적분(PI) 제어기를 결합한 추종 루프를 널리 적용합니다.

현재 루프에서 추정된 회전자 각도를 hat(θ)라 할 때, 복조 신호와 추정 각도의 삼각함수 값을 교차 곱하여 감산하는 방식으로 각도 오차 신호 e를 생성하며 식 (9)와 같이 정의합니다.

e = V_{demod \sin} \cdot \cos (\hat{θ}) - V_{demod \cos} \cdot \sin (\hat{θ})

(9)

1편의 식 (7)과 1편의 식 (8)의 관계를 식 (9)에 대입하고 삼각함수의 덧셈정리를 적용하면 오차 신호는 식 (10)으로 정리합니다.

e = K_{v} \cdot (\sin (θ) \cdot \cos (\hat{θ}) - \cos (θ) \cdot \sin (\hat{θ})) = K_{v} \cdot \sin (θ - \hat{θ})

(10)

실제 각도 θ와 추정 각도 hat(θ)의 차이가 충분히 작은 정상 상태 부근에서는 소각 근사가 성립하므로 오차 신호는 식 (11)과 같이 선형화합니다.

e \approx K_{v} \cdot (θ - \hat{θ})

(11)

선형화된 오차 신호 e는 비례적분(PI) 제어기를 통과하여 추정 각속도 hat(ω)를 산출하고, 이를 적분기로 다시 적분하여 추정 각도 hat(θ)를 출력합니다. 개루프 전달함수 G_ol(s)는 제어기 내부의 적분기와 각도 변환 적분기를 포함하여 2개의 적분극을 가지므로 Type II 루프로 분류되며 식 (12)로 표현합니다.

G_{ol} (s) = \frac{K_{v} \cdot (K_{p} + \frac{K_{i}}{s}) \cdot 1}{s} = \frac{K_{v} \cdot (K_{p} \cdot s + K_{i})}{s^{2}}

(12)

폐루프 전달함수 G_cl(s)는 식 (13) 및 식 (14)와 같이 유도합니다.

G_{cl} (s) = \frac{G_{ol} (s)}{(1 + G_{ol} (s))}

(13)

G_{cl} (s) = \frac{(K_{v} \cdot K_{p} \cdot s + K_{v} \cdot K_{i})}{(s^{2} + K_{v} \cdot K_{p} \cdot s + K_{v} \cdot K_{i})}

(14)

식 (14)의 폐루프 전달함수를 표준 2차 시스템 전달함수와 계수 비교하여 안정성과 과도 응답을 결정하는 제어기 게인을 설계할 수 있습니다.

1kW 가전 인버터 구동 조건 기반 PI 게인 계산 예제

1kW급 가전 인버터 시스템에 적합한 2차 추종 루프의 PI 제어기 게인 K_p와 K_i를 구체적인 수치 예제를 통해 계산합니다. 표준 2차 폐루프 시스템의 특성방정식과 전달함수는 식 (15)와 같이 정의합니다.

G_{cl} (s) = \frac{(2 \cdot ζ \cdot ω_{n} \cdot s + ω_{n}^{2})}{(s^{2} + 2 \cdot ζ \cdot ω_{n} \cdot s + ω_{n}^{2})}

(15)

식 (15)에서 ζ는 시스템 감쇠비이며, ω_n은 루프의 고유진동수(대역폭)입니다. 식 (14)와 식 (15)의 분모 및 분자 계수를 비교하면 PI 제어기 게인 수식은 식 (16) 및 식 (17)로 도출합니다.

K_{p} = \frac{2 \cdot ζ \cdot ω_{n}}{K_{v}}

(16)

K_{i} = \frac{ω_{n}^{2}}{K_{v}}

(17)

1kW 가전 인버터 전동기 구동 시스템의 설계 사양으로 여자 주파수는 10 kHz로 설정하며 여자 각주파수는 약 62832 rad/s입니다. 추종 루프 대역폭은 여자 주파수의 50분의 1 수준인 200 Hz로 분리하여 지정합니다. 시스템 감쇠비는 최적 감쇠 응답을 제공하는 0.707로 선정합니다. 복조 신호의 정규화 전압 이득은 1.0 V/rad로 정합합니다.

설정된 대역폭 200 Hz로부터 고유 각진동수 ω_n을 계산하면 식 (18)과 같습니다.

ω_{n} = 2 \cdot π \cdot f_{n} = 2 \cdot π \cdot 200 \approx 1256.64

(18)

식 (18)에서 산출된 고유 각진동수는 약 1256.64 rad/s입니다. 이 값을 식 (16)에 대입하여 비례 게인 K_p를 계산하면 식 (19)와 같습니다.

K_{p} = \frac{2 \cdot 0.707 \cdot 1256.64}{1.0} \approx 1776.89

(19)

식 (19)에서 계산된 비례 게인은 1777로 설정합니다. 이어서 식 (17)에 대입하여 적분 게인 K_i를 계산하면 식 (20)과 같습니다.

K_{i} = \frac{{(1256.64)}^{2}}{1.0} \approx 1579144.1

(20)

식 (20)에서 계산된 적분 게인은 1579144로 설정합니다. 이와 같이 산출된 비례 게인 1777 및 적분 게인 1579144를 적용하면 1kW 가전 인버터 구동 조건에서 200 Hz 대역폭과 0.707의 감쇠비를 갖는 안정적인 2차 위치 추종 루프를 완성합니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

각도 오차 생성과 2차 추종 루프 전달함수 유도

1kW 가전 인버터 구동 조건 기반 PI 게인 계산 예제

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