리졸버 디코딩, 1kW 가전 인버터 동기 복조와 2차 추종 루프 계산 1편

이 글은 리졸버 디코딩, 1kW 가전 인버터 동기 복조와 2차 추종 루프 계산을 3편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 리졸버 동작 원리와 2상 변조 신호 모델, 여자 신호 제거를 위한 동기 복조 과정을 다룹니다.

리졸버 2상 출력 전압의 고주파 여자 반송파를 제거하는 동기 복조 과정과 위상 오차를 최소화하여 회전자 위치 및 각속도를 실시간으로 추정하는 2차 각도 추종 루프의 신호 처리 구조입니다.

리졸버 동작 원리와 2상 변조 신호 모델

가전 인버터 구동 시스템에서 전동기의 정밀한 벡터 제어를 수행하기 위해서는 회전자의 정확한 절대 위치 정보가 필수적입니다. 세탁기나 압축기와 같은 1kW급 가전 전동기 구동부는 진동, 고온, 먼지 등 가혹한 기계적 환경에 지속적으로 노출을 받습니다. 리졸버는 전자기적 상호 인덕턴스 변화를 이용하므로 내구성이 매우 우수하여 신뢰성 높은 위치 센서로 널리 사용합니다. 리졸버는 고정자에 인가되는 고주파 교류 신호를 매개로 회전자 각도에 따라 진폭이 변조된 2상 교류 전압을 출력하는 일종의 회전 변압기입니다.

리졸버의 고정자 1차 권선에는 외부 제어기 또는 신호 발생 회로로부터 고주파 정현파 여자 신호를 인가합니다. 여자 전압 신호의 수학적 형태는 식 (1)과 같이 정의합니다.

V_{exc} (t) = V_{ex} \cdot \sin (ω_{ex} \cdot t)

(1)

식 (1)에서 V_ex는 여자 전압의 진폭이며, ω_ex는 여자 각주파수입니다. 회전자가 기계각 θ만큼 회전하면 고정자에 공간적으로 90° 위상차를 두고 배치된 2개의 2차 권선에는 회전자 위치의 삼각함수 비례 진폭으로 변조된 2상 출력 전압이 유기되는 원리입니다. 이 신호는 각각 정현파(Sine) 신호와 여현파(Cosine) 신호로 불리며 식 (2) 및 식 (3)으로 표현합니다.

V_{\sin} (t) = k \cdot V_{ex} \cdot \sin (θ) \cdot \sin (ω_{ex} \cdot t)

(2)

V_{\cos} (t) = k \cdot V_{ex} \cdot \cos (θ) \cdot \sin (ω_{ex} \cdot t)

(3)

식 (2)와 식 (3)에서 k는 리졸버 1차 권선과 2차 권선 간의 최대 변압비입니다. 출력 전압 신호는 회전자 위치 각도 θ에 대한 공간 정보와 고주파 여자 신호의 시간 변화 정보가 곱해진 진폭 변조(AM) 신호 형태를 갖습니다. 따라서 전동기 제어에 필요한 회전자 위치 각도 θ를 추출하기 위해서는 고주파 반송파 성분을 제거하고 공간 각도 성분만을 분리하는 리졸버 디코딩 알고리즘을 필수적으로 적용해야 합니다.

여자 신호 제거를 위한 동기 복조 과정

리졸버 2상 출력 신호로부터 위치 각도 정보를 추출하는 첫 번째 단계는 고주파 반송파 성분을 제거하는 동기 복조(Synchronous Demodulation) 과정입니다. 동기 복조는 출력 신호에 원본 여자 신호와 위상이 일치하는 반송파 신호를 곱하여 기저대역 포락선 성분을 분리하는 방식으로 수행합니다.

정현파 출력 신호 V_sin(t)에 여자 반송파 신호를 곱하는 연산 과정은 식 (4)와 같이 전개합니다.

V_{sd \sin} (t) = V_{\sin} (t) \cdot \sin (ω_{ex} \cdot t) = k \cdot V_{ex} \cdot \sin (θ) \cdot \sin^{(ω_{ex} \cdot t) 2}

(4)

삼각함수의 반각 공식을 적용하면 반송파의 제곱 항은 직류 성분과 2배 주파수 교류 성분으로 분리되며 식 (5)로 표현합니다.

\sin^{(ω_{ex} \cdot t) 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot ω_{ex} \cdot t)

(5)

식 (5)를 식 (4)에 대입하여 전개하면 동기 복조 신호는 식 (6)과 같은 형태를 갖습니다.

V_{sd \sin} (t) = \frac{1}{2} \cdot k \cdot V_{ex} \cdot \sin (θ) - \frac{1}{2} \cdot k \cdot V_{ex} \cdot \sin (θ) \cdot \cos (2 \cdot ω_{ex} \cdot t)

(6)

식 (6)에서 첫 번째 항은 회전자 위치 정보 sin(θ)를 포함하는 기저대역 성분이며, 두 번째 항은 여자 각주파수의 2배로 진동하는 고주파 변조 성분입니다. 이 신호를 저역통과 필터(LPF)에 통과시키거나 여자 신호의 정점(Peak) 시점에서 아날로그-디지털 변환기(ADC)를 동기 샘플링하면 고주파 리플 성분을 제거합니다. 이득 보상을 적용한 후 추출된 최종 복조 신호는 식 (7) 및 식 (8)과 같이 순수한 각도 정보의 함수로 정립합니다.

V_{demod \sin} = K_{v} \cdot \sin (θ)

(7)

V_{demod \cos} = K_{v} \cdot \cos (θ)

(8)

식 (7)과 식 (8)에서 K_v는 신호 변환 및 복조 이득을 포함한 전압 비례 상수입니다. 이로써 고주파 여자 반송파가 완벽히 제거되고 순수한 직교 2상 위치 신호를 확보합니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

리졸버 동작 원리와 2상 변조 신호 모델

여자 신호 제거를 위한 동기 복조 과정

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