능동 저항 댐핑, 3kW PMSM 서보 드라이브 가상 저항과 감쇠비 계산 2편

이 글은 능동 저항 댐핑, 3kW PMSM 서보 드라이브 가상 저항과 감쇠비 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 dq축 전류 제어기의 가상 저항 수식 유도와 폐루프 전달함수, 3kW 서보 파라미터 기반 가상 저항값과 감쇠비 계산, 맺음말을 설명합니다.

3kW PMSM 서보 드라이브의 dq축 전류 제어기에 가상 저항 5.00Ω을 능동 댐핑 루프로 추가하여 물리적 발열 없이 등가 저항을 5.50Ω으로 확장하고 최적 감쇠비 0.707을 달성하는 원리와 극점 배치 과정입니다.

dq축 전류 제어기의 가상 저항 수식 유도와 폐루프 전달함수

PMSM 서보 시스템의 진동을 억제하고 응답 안정성을 향상하기 위해 동기회전좌표계 dq축 전류 제어기에 가상 저항 R_a를 도입합니다. 능동 저항 댐핑이 포함된 dq축 전압 지령식은 비례적분(PI) 제어기 출력에서 가상 저항 전압 강하 성분을 감산하여 식 (5)와 같이 구성합니다.

v_{dq ref} = K_{p} \cdot (i_{dq ref} - i_{dq}) + \frac{K_{i}}{s} \cdot (i_{dq ref} - i_{dq}) - R_{a} \cdot i_{dq}

(5)

PMSM의 고정자 권선 전압 방정식에서 역기전력 및 축 간 간섭 성분을 완벽히 비간섭화했다고 가정하면, 전동기의 고정자 전압과 전류의 전달 관계는 식 (6)과 같이 단순한 1차 지연 회로로 표현할 수 있습니다.

v_{dq} = (s \cdot L_{s} + R_{s}) \cdot i_{dq}

(6)

인버터 전압 변조 지연을 이상적으로 설정하고 식 (5)와 식 (6)를 결합하여 전류 지령 i_dq_ref에 대한 실제 고정자 전류 i_dq의 폐루프 전달함수를 유도하면 식 (7)을 얻을 수 있습니다.

G_{cl} (s) = \frac{i_{dq}}{i_{dq ref}} = \frac{(K_{p} \cdot s + K_{i})}{(L_{s} \cdot s^{2} + (R_{s} + R_{a} + K_{p}) \cdot s + K_{i})}

(7)

식 (7)의 분모 다항식을 2차 표준 시스템의 특성 방정식과 비교하여 식 (8)과 같이 정리합니다.

s^{2} + \frac{(R_{s} + R_{a} + K_{p})}{L_{s}} \cdot s + \frac{K_{i}}{L_{s}} = s^{2} + 2 \cdot ζ \cdot ω_{n} \cdot s + ω_{n}^{2}

(8)

식 (8)에서 시스템의 등가 고정자 저항은 R_s에서 R_s + R_a로 증가합니다. 이는 실제 전력 손실 없이 전동기 고정자 권선 저항이 물리적으로 커진 것과 완전히 동일한 감쇠 효과를 생성합니다. 결과적으로 개루프 극점이 좌반평면으로 깊숙이 이동하여 시스템의 감쇠 특성을 크게 개선할 수 있습니다.

3kW 서보 파라미터 기반 가상 저항값과 감쇠비 계산

이제 정의된 3kW PMSM 서보 파라미터를 바탕으로 목표 동특성을 만족하는 가상 저항값 R_a와 제어기 게인을 단계별로 계산합니다. 전류 제어 루프의 목표 대역폭을 고려하여 비감쇠 고유진동수 f_n을 250Hz로 선정하고, 최적의 과도 응답을 보장하는 목표 감쇠비 ζ를 0.707(Butterworth 표준 감쇠비)로 설정합니다. 고유 각주파수 ω_n의 계산식은 식 (9)와 같습니다.

ω_{n} = 2 \cdot π \cdot 250 = 1570.80 rad / s

(9)

식 (9)에 따라 고유 각주파수 ω_n은 1570.80rad/s입니다. 식 (8)의 0차 항 관계식으로부터 목표 대역폭을 달성하기 위한 적분 게인 K_i를 식 (10)과 같이 유도합니다.

K_{i} = L_{s} \cdot ω_{n}^{2}

(10)

식 (10)에 전동기 인덕턴스 L_s = 0.0045H와 ω_n = 1570.80rad/s를 대입하여 계산한 식은 식 (11)과 같습니다.

K_{i} = 0.0045 \cdot {(1570.80)}^{2} = 11103.3

(11)

식 (11)에 따라 적분 게인은 11103.3V/(A·s)로 확정합니다. 이어서 목표 감쇠비 ζ = 0.707을 달성하기 위한 가상 저항 R_a의 관계식을 식 (8)의 1차 항 계수로부터 식 (12)와 같이 유도합니다.

R_{a} = 2 \cdot ζ \cdot ω_{n} \cdot L_{s} - (R_{s} + K_{p})

(12)

전류 제어기의 기본 비례 게인 K_p를 고주파 노이즈 유입과 제어 안정성을 고려하여 4.50Ω으로 설정하고, 고정자 저항 R_s = 0.50Ω을 대입합니다. 필요한 전체 등가 저항 항의 계산식은 식 (13)과 같습니다.

2 \cdot ζ \cdot ω_{n} \cdot L_{s} = 2 \cdot 0.707 \cdot 1570.80 \cdot 0.0045 = 9.998 Ω

(13)

식 (13)에 따라 전체 등가 저항 항은 약 10.00Ω입니다. 따라서 가상 저항 R_a를 도출하는 계산식은 식 (14)와 같습니다.

R_{a} = 10.00 - (0.50 + 4.50) = 5.00 Ω

(14)

가상 저항 5.00Ω을 제어 알고리즘에 적용함으로써 비례 게인을 무리하게 높이지 않고도 정확히 감쇠비 0.707을 달성할 수 있습니다.

맺음말

본 글에서는 3kW급 PMSM 서보 구동 시스템에서 정전력 부하 특성으로 인한 직류단 진동 메커니즘을 분석하고, 가상 저항 피드백을 통한 능동 저항 댐핑 제어기의 수식 유도 및 파라미터 계산 과정을 체계적으로 정리합니다. 계산 결과, 전동기 파라미터 R_s = 0.50Ω 및 L_s = 4.5mH 조건에서 고유진동수 250Hz와 목표 감쇠비 0.707을 확보하기 위해 적분 게인 K_i는 11103.3, 기본 비례 게인 K_p는 4.50Ω, 가상 저항 R_a는 5.00Ω으로 도출할 수 있습니다.

실무 현장에서 능동 저항 댐핑을 상용 서보 드라이브에 적용할 때는 다음 세 가지 항목을 반드시 점검해야 합니다. 첫째, 인버터 출력 전압의 포화 여부입니다. 가상 저항 전압 강하 성분이 전압 지령에 추가되므로 급가속이나 고속 운전 영역에서 인버터 최대 출력 가능 전압을 초과할 수 있습니다. 전압 변조 지수가 한계에 도달하면 댐핑 효과가 상실되므로 적절한 안티 와인드업 및 동적 저항 가변 로직을 구성해야 합니다.

둘째, 디지털 제어 지연 시간의 영향입니다. 마이크로컨트롤러의 아날로그-디지털 변환(ADC) 및 PWM 갱신 주기로 인해 통상 1.5 샘플링 주기의 지연이 발생합니다. 가상 저항 R_a를 과도하게 크게 설정하면 나이퀴스트 주파수 부근에서 위상 지연이 누적되어 고주파 채터링이 유발될 수 있으므로 샘플링 주기와의 비례 관계를 면밀히 검토해야 합니다.

셋째, 정상 상태 전류 제어 오차의 보상입니다. 가상 저항이 피드백 경로에 위치하면 비례 제어기와 유사하게 동작하여 적분기가 없는 경우 정상 상태 오차가 유발될 수 있습니다. 본 설계와 같이 적분 게인 K_i를 병행 설계하여 직류 전류 지령 추종 오차를 0으로 유지하도록 구현해야 합니다. 체계적인 수식 기반의 가상 저항 설계를 통해 전력 손실 없이 안정적이고 정밀한 PMSM 서보 제어를 완성하는 것이 바람직합니다.

이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 프리차지와 소프트 스타트, 드론 전자 변속기 돌입 억제 저항 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=240

이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.

dq축 전류 제어기의 가상 저항 수식 유도와 폐루프 전달함수

3kW 서보 파라미터 기반 가상 저항값과 감쇠비 계산

맺음말

댓글 남기기 응답 취소