이 글은 모델 불확실성 해석, 55kW 인버터 곱셈 불확실성과 강인 여유 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 55kW 인버터 드라이브의 모델 불확실성과 물리적 발생 요인, 곱셈 불확실성 정식화와 상계 가중 함수 W_m(s) 설계를 다룹니다.
55kW 인버터 드라이브의 모델 불확실성과 물리적 발생 요인
산업용 55kW급 전동기 인버터 구동 시스템은 산업 현장에서 펌프, 팬, 압축기, 압출기 등 다양한 중부하 설비에 광범위하게 적용합니다. 이러한 인버터 드라이브 제어기를 설계할 때는 전동기와 인버터의 공칭 모델을 기준으로 비례 적분 전류 제어기를 튜닝합니다. 그러나 실제 산업 현장에서 동작하는 전동기 드라이브 시스템은 수학적으로 정의한 공칭 모델과 완벽하게 일치하지 않습니다. 운전 조건과 주변 환경에 따라 플랜트 내부의 물리적 파라미터가 크게 변동하며, 제어 주기와 스위칭 과정에서 발생하는 지연 요소가 필연적으로 결합하기 때문입니다.
첫 번째 주요 물리적 변동 요인은 전동기 권선 온도의 상승에 따른 고정자 저항 변화입니다. 55kW 유도전동기 또는 영구자석 동기전동기는 정격 연속 운전 시 권선 온도가 상온인 20°C에서 절연 계급 허용치에 가까운 120°C 이상까지 상승합니다. 구리 권선의 온도 계수로 인해 고정자 저항 R_s는 초기 공칭값 대비 최대 40%에서 50%까지 증가합니다. 두 번째 요인은 자기 포화 현상입니다. 정격 토크 운전이나 과부하 기동 시 고정자 및 회전자 코어의 자기 포화로 인해 누설 인덕턴스와 주 인덕턴스 L_s는 공칭값 대비 15%에서 25% 수준으로 감소합니다.
세 번째 요인은 인버터 제어 연산과 PWM 스위칭에서 기인하는 시간 지연입니다. 디지털 신호 처리기의 샘플링 및 연산 지연 0.5 샘플링 주기와 인버터 PWM 영차 홀드 지연 0.5 샘플링 주기, 그리고 스위칭 소자의 데드타임 오차가 결합하여 전체 시스템에 등가 지연 시간 T_d를 유발합니다. 55kW 인버터의 고정자 전류 제어 루프를 위한 1차 공칭 전달함수는 식 (1)과 같이 정의합니다.
여기서 L_s0는 공칭 고정자 인덕턴스이며 R_s0는 공칭 고정자 저항입니다. 반면에 파라미터 섭동과 지연이 모두 포함된 실제 플랜트 전달함수 G(s)는 식 (2)와 같이 표현합니다.
이러한 물리적 파라미터 오차와 고주파 위상 지연은 제어기의 위상 여유를 잠식하고 시스템을 불안정하게 만들 수 있으므로 정량적인 불확실성 해석이 반드시 필요합니다.
곱셈 불확실성 정식화와 상계 가중 함수 W_m(s) 설계
실제 플랜트와 공칭 모델 간의 불일치를 표현하는 방법에는 가법 불확실성과 곱셈 불확실성이 존재합니다. 가법 불확실성은 플랜트의 절대적인 오차 크기만을 나타내므로 주파수 대역별 상대적 오차 비율을 직관적으로 반영하기 어렵습니다. 반면에 곱셈 불확실성은 공칭 모델 대비 상대적인 백분율 오차로 정식화하므로, 고주파 대역에서 증가하는 모델 오차를 상계 가중 함수로 포락하기에 매우 적합합니다. 곱셈 불확실성을 적용한 시스템 모델은 식 (3)으로 정의합니다.
식 (3)에서 Δ_m(s)는 정규화되지 않은 실제 곱셈 불확실성 전달함수이며, 이를 공칭 모델과 실제 플랜트의 관계로 정리하면 식 (4)의 수식을 유도할 수 있습니다.
제어 시스템의 강인성을 해석하기 위해서는 발생 가능한 모든 운전 조건의 Δ_m(s) 크기를 주파수 영역에서 감싸는 안정한 유리 전달함수인 상계 가중 함수 W_m(s)를 도출해야 합니다. 즉 모든 주파수 ω에 대해 식 (5)의 부등식 조건을 만족해야 합니다.
저주파 영역에서는 직류 이득 오차가 주로 저항 변화에서 기인합니다. 고정자 저항이 50% 증가할 때 직류 전달함수의 크기 오차율은 약 33.3%에 도달합니다. 반면에 고주파 영역에서는 식 (2)의 지연 항으로 인해 위상 오차가 급증하며, 인덕턴스 감소 효과와 맞물려 불확실성 크기가 100%를 초과하여 200% 수준까지 상승합니다. 따라서 저주파 이득을 0.40으로 설정하고 고주파 이득을 2.0으로 상계하는 1차 고역 통과 형태의 상계 가중 함수를 식 (6)과 같이 설계합니다.
식 (6)의 가중 함수는 직류 저주파 대역에서 0.40의 크기를 갖습니다. 또한 고주파 극한에서는 2.0의 크기를 갖습니다. 이를 통해 전 주파수 대역에서 55kW 인버터 시스템의 파라미터 변동과 위상 지연을 보수적이면서도 정확하게 포락합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.