이 글은 모델 불확실성 해석, 55kW 인버터 곱셈 불확실성과 강인 여유 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 상보 감도 함수 T(s) 도출과 소이득 정리 기반 강인 안정도 판정, 55kW 시스템 수치 예제를 통한 강인 안정도 여유 계산, 맺음말을 설명합니다.
상보 감도 함수 T(s) 도출과 소이득 정리 기반 강인 안정도 판정
모델 불확실성이 존재하는 폐루프 시스템이 안정성을 유지하기 위한 조건을 도출하기 위해 공칭 제어 루프의 전달함수를 해석합니다. 전동기 전류 제어기는 일반적으로 비례 적분 제어기를 사용하며, 공칭 극점과 영점을 상쇄하는 방식으로 설계합니다. 비례 적분 제어기의 전달함수 C(s)는 식 (7)과 같습니다.
식 (7)에서 비례 이득과 적분 이득으로 공칭 극점과 영점을 상쇄하면, 개루프 전달함수 L_0(s)는 식 (8)과 같이 완벽한 1차 적분기 형태로 단순화합니다.
여기서 ω_cc는 목표 전류 제어 대역폭입니다. 기준 입력에서 출력으로의 공칭 폐루프 전달함수인 상보 감도 함수 T(s)는 식 (9)와 같이 유도합니다.
소이득 정리에 따르면, 공칭 폐루프 시스템이 안정하고 불확실성 블록의 크기가 1 이하로 정규화되었을 때 시스템이 모든 불확실성에 대해 강인 안정성을 만족하기 위한 필요충분조건은 식 (10)과 같습니다.
식 (10)에서 ||·||_∞는 H_무한대 노름을 의미하며 주파수 응답 크기의 최댓값을 뜻합니다. 즉 모든 주파수 ω에 대하여 상계 가중 함수의 크기 |W_m(jω)|와 상보 감도 함수의 크기 |T(jω)|의 곱이 1보다 엄격히 작아야 시스템이 안정한 상태를 유지합니다. 이때 강인 안정도 여유 SM_r은 식 (11)로 정의합니다.
식 (11)의 강인 안정도 여유 SM_r이 1보다 크면 시스템은 설계된 불확실성 상계 범위 내에서 진동을 유발하지 않고 안정하게 동작합니다. 만약 SM_r이 1 이하로 떨어지면 특정 파라미터 변동 조합이나 고주파 지연 영역에서 시스템 폐루프 극점이 복소평면 우반면으로 이동하면서 제어 시스템이 불안정해지는 위험을 초래합니다.
55kW 시스템 수치 예제를 통한 강인 안정도 여유 계산
55kW 380V 4극 산업용 유도전동기 구동 인버터의 실제 수치 예제를 바탕으로 강인 안정도 여유를 직접 계산합니다. 공칭 파라미터는 고정자 저항 R_s0 = 0.050 Ω, 고정자 인덕턴스 L_s0 = 1.20 mH = 0.00120 H입니다. 인버터의 PWM 스위칭 주파수는 f_sw = 5 kHz이며 스위칭 주기는 T_s = 200 μs = 0.00020 s입니다. 디지털 제어 연산과 PWM 지연을 합산한 등가 지연 시간 T_d는 0.00030 s입니다.
전류 제어기의 목표 대역폭을 f_cc = 250 Hz로 설정하면 목표 각주파수 ω_cc는 1570.8 rad/s의 값을 산출합니다. 제어기 이득은 식 (12)와 식 (13)에 따라 계산합니다.
계산된 제어기 비례 이득은 1.885 Ω이며 적분 이득은 78.54 Ω/s입니다. 이제 1편의 식 (6)의 상계 가중 함수 W_m(s)와 식 (9)의 상보 감도 함수 T(s)를 결합하여 주파수별 크기를 평가합니다.
저주파 대역인 ω = 100 rad/s에서 |T(j100)|은 0.9980이며, |W_m(j100)|은 0.4053입니다. 두 값의 곱은 0.4045로 1보다 현저히 작습니다. 목표 대역폭 주파수인 ω = 1570.8 rad/s에서는 |T(j1570.8)|은 0.7071이고, |W_m(j1570.8)|은 0.9931입니다. 따라서 이 지점의 크기 곱은 0.7022의 크기를 산출합니다.
전 주파수 대역에 걸쳐 크기 곱의 최댓값을 산출하면 1700 rad/s 부근에서 피크 값 0.725에 도달합니다. 따라서 시스템의 H_무한대 노름은 0.725로 결정합니다. 식 (11)에 대입하여 구한 강인 안정도 여유 SM_r은 1.379입니다. 이는 데시벨 단위로 약 2.8 dB의 안정도 이득 여유를 확보하였음을 의미하며, 55kW 인버터 시스템이 권선 온도 120°C 상승과 자속 포화 상태에서도 완벽한 강인 안정성을 유지함을 증명합니다.
만약 엔지니어가 빠른 응답성만을 추구하여 대역폭을 f_cc = 500 Hz로 무리하게 상향할 경우, 동일한 가중 함수 하에서 피크 노름이 1.05로 상승하여 SM_r이 0.952로 감소합니다. 이 경우 소이득 정리 조건인 식 (10)을 위반하여 고부하 운전 시 전류 제어 루프에 진동과 불안정 현상을 유발합니다.
맺음말
본 글에서는 55kW 산업용 인버터 드라이브에서 발생하는 권선 저항의 열적 변동, 인덕턴스의 자속 포화, 디지털 제어 및 PWM 스위칭 지연을 곱셈 불확실성 모델로 정식화하고 강인 안정도 여유를 계산하였습니다. 공칭 파라미터 R_s0 = 0.050 Ω, L_s0 = 1.20 mH를 기준으로 도출한 상계 가중 함수 W_m(s)와 대역폭 250 Hz의 상보 감도 함수 T(s)를 결합하여 산출한 강인 안정도 여유 SM_r은 1.379였습니다.
실무에서 인버터 제어 시스템을 설계할 때는 다음 세 가지 사항을 각별히 주의해야 합니다. 첫째, 과도한 보수성을 경계해야 합니다. 불확실성 상계 가중 함수 W_m(s)를 지나치게 크게 설정하면 필요 이상으로 제어 대역폭을 낮추게 되어 급격한 부하 변동에 대한 과도 응답 정정 시간이 길어지는 문제가 발생합니다. 따라서 실제 전동기 온도 시험 데이터와 자기 포화 곡선을 반영하여 최적의 상계를 설정해야 합니다.
둘째, 스위칭 주파수와 디지털 지연 시간의 정확한 반영입니다. 스위칭 주파수가 낮을수록 등가 지연 T_d가 길어져 고주파 불확실성이 빠르게 증가하므로, 전류 제어 대역폭은 통상 스위칭 주파수의 1/10에서 1/20 이하로 제한해야 합니다. 셋째, 전류 센서 노이즈와 PWM 스위칭 리플의 영향입니다. 상보 감도 함수가 고주파에서 충분한 감쇠 특성을 갖지 못하면 센서 스파이크 노이즈가 제어 출력으로 전파되어 인버터 소자에 스트레스를 가합니다. 엔지니어는 소이득 정리 기반의 강인 여유 계산 절차를 표준화하여 온도와 부하 변화에도 안정된 고성능 드라이브 시스템을 구현해야 합니다.
이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 정착 시간과 상승 시간, 7.5kW 인버터 드라이브 속도 제어 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=244
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.