이 글은 등가회로 모델, 1kW 무선 전력 전송 배터리 테브난 1RC 응답 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 무선 전력 전송 배터리 모델링에서 등가회로 모델의 필요성, 테브난 1RC 등가회로 모델의 구성 요소와 물리적 의미, 시간 영역 단자 전압 상태 방정식 및 과도 응답 수식 유도를 다룹니다.
무선 전력 전송 배터리 모델링에서 등가회로 모델의 필요성
무선 전력 전송 시스템은 송신부와 수신부 사이의 자기 결합을 통해 에너지를 비접촉 방식으로 전달합니다. 수신단에서 정류된 직류 전력은 배터리 팩으로 직접 유입되며, 1kW급 고전력 무선 충전 환경에서는 수십 암페어 수준의 계단형 충전 전류가 급격하게 인가되는 조건이 발생합니다. 이러한 동적 충전 환경에서 배터리의 단자 전압 거동을 정확하게 예측하고 제어하는 작업은 배터리 관리 시스템(BMS)의 안전성과 충전 효율을 확보하는 핵심 기반입니다.
배터리를 단순히 고정된 전압원이나 단순 내부 저항만 존재하는 0차 저항 모델로 해석하면 과도 상태에서 심각한 오차가 발생합니다. 실제 배터리는 전류가 인가되는 순간 즉각적으로 반응하는 전해액 및 전극판의 순수 전기적 저항뿐만 아니라, 전극 표면에서 일어나는 전하 전달 반응과 활물질 내부의 리튬 이온 확산에 따른 지연 특성을 함께 보여주는 성질이 있습니다. 0차 저항 모델은 전류 인가 직후 전압이 수직으로 상승한 뒤 평형을 유지한다고 가정하므로, 시간이 흐름에 따라 완만하게 상승하는 분극 현상을 전혀 반영하지 못합니다.
이러한 지연 특성을 무시하면 충전 제어기가 과충전 차단 전압에 도달하는 시점을 잘못 판단하여 충전이 조기에 중단되거나 과전압 보호 루프가 불필요하게 동작할 수 있습니다. 따라서 배터리 내부의 전기화학적 과도 응답을 전기 회로 소자로 충실하게 모사하는 테브난 등가회로 모델이 필요합니다. 테브난 등가회로 모델은 계산 복잡도가 낮으면서도 밀리초 단위의 오믹 응답부터 수십 초 단위의 분극 지연 응답까지 정밀하게 재현할 수 있어 임베디드 BMS 제어 알고리즘에 널리 활용하는 모델입니다.
테브난 1RC 등가회로 모델의 구성 요소와 물리적 의미
테브난 1RC 등가회로 모델은 개방회로 전압원, 직렬 오믹 저항, 그리고 병렬 저항-커패시터 네트워크로 구성된 모델입니다. 이 모델은 배터리 내부에서 발생하는 복잡한 전기화학적 메커니즘을 시간 척도에 따라 분리하여 간결한 집중 상수 회로로 표현합니다.
첫 번째 요소인 개방회로 전압은 외부 전류가 흐르지 않고 장시간 방치되어 전기화학적 평형 상태에 도달했을 때의 배터리 양단 전압입니다. 개방회로 전압은 배터리의 충전 상태(SoC)에 일대일로 대응하는 고유한 열역학적 전위입니다.
두 번째 요소인 직렬 오믹 저항은 집전체, 전극 활물질의 전자 전도 저항, 세퍼레이터 및 전해액의 이온 전도 저항, 그리고 탭과 버스바의 접촉 저항을 모두 합산한 순수 저항 성분입니다. 이 저항은 충전 전류가 인가되거나 차단되는 즉시 전압 강하 또는 전압 상승을 유발하며 시지연을 갖지 않는 성질이 있습니다.
세 번째 요소는 병렬로 결합된 분극 저항과 분극 커패시터입니다. 전극과 전해액 계면에서는 이온이 이동하고 전하가 전달되는 과정에서 전기이중층 커패시턴스가 형성되며, 활물질 내부로 이온이 확산되는 과정에서 농도 구배에 따른 확산 저항이 발생합니다. 분극 저항은 전하 전달 및 확산에 대한 저항을 모사하고, 분극 커패시터는 계면의 전하 축적 효과를 모사합니다. 두 소자가 병렬로 연결되어 형성하는 시정수는 충전 전류 인가 후 단자 전압이 정상상태로 수렴하기까지 걸리는 시간 지연을 수학적으로 결정합니다.
시간 영역 단자 전압 상태 방정식 및 과도 응답 수식 유도
테브난 1RC 등가회로 모델의 동적 거동을 해석하기 위해 키르히호프의 전류 법칙(KCL)과 전압 법칙(KVL)을 적용하여 1차 미분방정식을 유도합니다. 충전 전류를 배터리 양극으로 유입되는 방향으로 정의하고, 분극 커패시터 양단에 걸리는 전압을 분극 전압으로 설정합니다.
병렬 RC 네트워크 노드에 키르히호프의 전류 법칙을 적용하면 전체 충전 전류는 분극 저항으로 흐르는 전류와 분극 커패시터로 흐르는 변위 전류의 합과 같습니다. 이를 미분방정식 형태로 정리하면 식 (1)과 같습니다.
식 (1)에서 dot(V_p)는 분극 전압의 시간에 대한 1계 도함수이며, R_1은 분극 저항, C_1은 분극 커패시턴스, I는 인가된 충전 전류입니다. 전체 회로의 폐루프에 키르히호프 전압 법칙을 적용하여 단자 전압을 표현하면 식 (2)가 유도되는 수식입니다.
식 (2)에서 V_t(t)는 시간 t에서의 배터리 단자 전압이며, V_oc는 개방회로 전압, R_0는 직렬 오믹 저항입니다. 병렬 RC 회로의 동특성을 결정하는 분극 시정수는 식 (3)으로 정의합니다.
초기 분극 전압이 0인 상태에서 크기 I의 계단형 충전 전류가 인가되었을 때 식 (1)의 미분방정식을 풀면 분극 전압의 시간 영역 해는 식 (4)와 같이 도출되는 수식입니다.
도출된 식 (4)를 식 (2)에 대입하면 충전 시 전체 단자 전압의 시간 응답식이 완성되며, 이는 식 (5)와 같습니다.
식 (5)는 전류 인가 직후 오믹 저항에 의해 전압이 즉시 상승한 후, 시정수 τ에 따라 지수함수적으로 분극 전압이 증가하여 정상상태에 도달하는 과정을 명확히 나타내는 식입니다.
전류 인가 직후 시점에서는 커패시터가 단락 상태로 동작하므로 분극 전압은 식 (6)과 같으며 단자 전압은 식 (7)과 같이 순수 오믹 성분만 반영합니다.
충전 시작 후 1시정수인 t = τ가 경과한 시점에서는 분극 전압이 최종 정상상태 분극 전압의 63.2%까지 상승하며 단자 전압은 식 (8)로 계산합니다.
충전이 충분히 지속되어 t가 무한대로 수렴하면 커패시터는 완전 개방 상태가 되며 단자 전압은 식 (9)의 정상상태 값에 도달합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.