이 글은 등가회로 모델, 1kW 무선 전력 전송 배터리 테브난 1RC 응답 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 1kW급 무선 충전 조건에서의 테브난 파라미터 및 전압 계산 예제, 맺음말을 설명합니다.
1kW급 무선 충전 조건에서의 테브난 파라미터 및 전압 계산 예제
48V 공칭 전압을 갖는 1kW급 무선 전력 전송 배터리 팩 시스템의 충전 상황을 예로 들어 구체적인 수치를 계산합니다. 배터리 팩의 초기 충전 상태(SoC)에 해당하는 개방회로 전압 V_oc를 48.0V로 설정합니다. 1kW 정격 충전을 위해 수신단에서 공급하는 정전류 I를 20A로 인가합니다.
테브난 등가회로 파라미터는 실험적 펄스 전류 시험을 통해 추출된 값을 적용합니다. 직렬 오믹 저항 R_0는 0.025Ω(25mΩ), 분극 저항 R_1은 0.035Ω(35mΩ), 분극 커패시턴스 C_1은 2000F으로 설정합니다.
먼저 1편의 식 (3)을 사용하여 분극 시정수 τ를 계산합니다. 분극 저항 0.035Ω과 커패시턴스 2000F을 곱하면 시정수는 70s입니다.
다음으로 전류 20A가 인가되는 순간의 오믹 전압 상승분을 계산합니다. 오믹 저항 0.025Ω에 20A를 곱하면 오믹 전압 상승은 0.5V입니다. 1편의 식 (7)에 따라 충전 전류 인가 직후 시점의 단자 전압은 48.0V에 0.5V를 더한 48.5V로 즉각 상승합니다.
충전이 시작된 후 1시정수인 70s가 경과한 시점의 전압을 계산합니다. 최종 정상상태 분극 전압은 20A에 0.035Ω을 곱한 0.7V입니다. 70s 시점에서 분극 전압은 0.7V의 63.21%에 해당하는 0.4425V까지 상승합니다. 따라서 1편의 식 (8)에 따른 t = 70s 시점의 단자 전압은 48.0V + 0.5V + 0.4425V = 48.9425V가 되며, 반올림하여 48.94V로 산출합니다.
충전이 3시정수인 210s 동안 지속되면 분극 전압은 최종값의 약 95.02%에 도달하여 0.6651V로 증가합니다. 이때의 단자 전압은 48.0V + 0.5V + 0.6651V = 49.1651V이며, 약 49.17V에 이르는 전압입니다.
시간이 충분히 흘러 정상상태에 도달하는 t = ∞ 시점의 단자 전압을 1편의 식 (9)로 계산합니다. 총 등가 저항은 0.025Ω과 0.035Ω을 합한 0.060Ω이 되며, 여기에 20A를 곱하면 총 내부 전압 상승분은 1.2V입니다. 따라서 정상상태 단자 전압은 48.0V에 1.2V를 더한 49.2V로 수렴합니다.
충전 전류가 차단되는 순간의 완화 전압 거동도 동일한 시정수로 해석합니다. 충전이 차단되면 0.5V의 오믹 전압은 즉시 사라지지만, 축적된 0.7V의 분극 전압은 식 (10)의 감쇠 함수를 따르는 형태로 감쇠합니다.
식 (10)에서 t’는 충전 차단 후 경과 시간이며, t_off는 충전 차단 시점입니다. 차단 후 70s가 지나면 잔여 분극 전압은 0.7V의 36.79%인 약 0.2575V로 감쇠하며, 약 350s(5시정수) 이상이 지나야 개방회로 전압인 48.0V로 완전히 복귀합니다.
맺음말
본 글에서는 1kW급 무선 전력 전송 환경에서 배터리 충전 시 발생하는 과도 단자 전압 거동을 테브난 1RC 등가회로 모델을 통해 정량적으로 해석하고 수치 계산을 수행하였습니다. 48.0V의 개방회로 전압과 20A의 충전 전류 조건에서, 25mΩ의 오믹 저항에 의해 인가 즉시 0.5V의 전압 상승이 발생하여 48.5V가 됨을 확인하였습니다. 이후 35mΩ의 분극 저항과 2000F의 커패시턴스가 형성하는 70s의 시정수에 따라 단자 전압이 점진적으로 상승하여 1시정수 시점에 48.94V, 정상상태에서 49.2V에 도달하는 과정을 수식으로 증명하였습니다.
실무에서 배터리 관리 시스템(BMS) 제어기를 설계할 때 주의해야 할 핵심 기준은 다음과 같습니다.
첫째, 테브난 모델의 파라미터는 고정된 상수가 아니며 배터리의 충전 상태(SoC), 온도, 충방전 C-rate에 따라 강한 비선형성을 가지는 특성이 있습니다. 특히 저온 환경에서는 전해액 점도 증가와 전하 전달 저항 급증으로 인해 R_0와 R_1이 수 배 이상 증가하여 동일한 충전 전류에서도 단자 전압이 급상승하므로 저온 충전 제어 시 컷오프 전압 도달 마진을 보수적으로 설정해야 합니다.
둘째, 무선 전력 전송 제어기는 배터리 단자 전압만을 피드백 받아 과충전을 방지하므로, 과도 분극 전압을 고려하지 않고 순간 전압만으로 SoC를 추정하면 과도 오차가 발생합니다. 정밀한 SoC 추정과 배터리 건강 상태(SoH) 진단을 위해서는 전류 적산법과 확장 칼만 필터(EKF) 같은 등가회로 기반 상태 관측기를 결합해야 합니다.
셋째, 파라미터 추출을 위한 펄스 전류 시험 시 충전 차단 후 최소 5시정수 이상의 충분한 완화 시간을 확보하여 잔류 분극 전압이 완전히 감쇠된 후 개방회로 전압을 측정해야 오차를 방지할 수 있습니다. 이러한 동특성 해석과 파라미터 보정을 체계적으로 적용하면 고출력 무선 충전 시스템의 안전성과 배터리 수명을 극대화할 수 있습니다.
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.