차분 방정식 구현, 1kW 태양광 MPPT 제어기 재귀식과 계수 계산 1편

이 글은 차분 방정식 구현, 1kW 태양광 MPPT 제어기 재귀식과 계수 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 태양광 MPPT 전압 제어기와 이산화 모델링의 필요성, Tustin 변환을 통한 z 영역 전달함수 유도를 다룹니다.

1kW 태양광 MPPT 제어기의 연속시간 PI 전달함수에서 Tustin 쌍일차 변환을 거쳐 DSP 인터럽트용 직접형 재귀 차분 방정식으로 이산화되는 신호 흐름도와 연산 구조입니다.

태양광 MPPT 전압 제어기와 이산화 모델링의 필요성

태양광 발전 시스템에서 최대 전력점 추종(MPPT) 전압 제어기는 일사량과 주변 온도의 급격한 변화에 신속하게 대응하여 태양광 어레이의 동작점을 최적 전압으로 유지하는 핵심 제어 루프를 구성합니다. 1kW급 태양광 전력 변환 시스템에서는 빠른 과도 응답 특성을 확보하고 정상상태 오차를 완전히 제거하기 위해 통상적으로 비례-적분(PI) 구조의 전압 제어기를 설계하여 적용합니다.

고전 제어 이론에 기초한 아날로그 전압 제어기는 연속시간 라플라스 s 영역에서 설계되지만, 실제 하드웨어 제어 장치는 디지털 신호 처리기(DSP)나 마이크로컨트롤러(MCU) 내부의 펌웨어 알고리즘으로 구현합니다. 디지털 프로세서는 연속적인 아날로그 신호를 실시간으로 직접 연산할 수 없으며, 타이머 인터럽트에 맞추어 아날로그-디지털 변환기(ADC)로부터 이산화된 전압 표본을 획득합니다.

따라서 s 영역에서 미분 방정식으로 표현되는 연속시간 제어기 모델을 디지털 프로세서가 매 인터럽트 주기마다 단순 사칙연산으로 고속 처리할 수 있는 시간 영역의 차분 방정식(Difference Equation)으로 변환하는 과정이 필수적입니다. 스위칭 주파수가 20kHz(샘플링 주기 50μs)로 동작하는 1kW 태양광 전압 제어 루프에서는 수치적 지연과 연산 오차가 시스템 전체의 위상 여유와 제어 안정도에 직접적인 영향을 미치는 요인으로 작용합니다. 그러므로 연속시간 제어기의 주파수 특성을 충실하게 보존하면서 마이크로컨트롤러 메모리 연산에 최적화된 직접형 재귀 차분 방정식을 체계적으로 유도해야 합니다.

Tustin 변환을 통한 z 영역 전달함수 유도

연속시간 영역에서 설계된 이상적인 비례-적분 제어기의 전달함수 G_c(s)는 비례 게인 K_p와 적분 게인 K_i의 합으로 표현하는 형태입니다.

G_{c} (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s}

(1)

식 (1)에서 s는 연속시간 복소 주파수 변수를 나타내는 기호입니다. 연속시간 전달함수를 이산시간 z 영역으로 변환하는 대표적인 기법인 쌍일차 변환(Bilinear Transform), 즉 Tustin 근사법은 사다리꼴 적분 수치 해석에 기초하여 s 평면의 좌반평면을 z 평면의 단위원 내부로 완벽하게 일대일 정합합니다. 샘플링 주기를 T_s로 정의할 때, Tustin 변환에서 사용하는 s 변수와 z 변수 사이의 대입 관계식은 다음과 같습니다.

s = \frac{\frac{2}{T_{s}} \cdot (1 - z^{- 1})}{(1 + z^{- 1})}

(2)

식 (2)의 변환 관계식을 식 (1)의 제어기 전달함수 s 자리에 직접 대입합니다.

G_{c} (z) = K_{p} + \frac{\frac{K_{i} \cdot T_{s}}{2} \cdot (1 + z^{- 1})}{(1 - z^{- 1})}

(3)

식 (3)에서 우변의 두 항을 공통 분모인 1 – z^-1로 묶어 분자 다항식을 전개하고 z의 음의 거듭제곱 순서로 정리합니다.

G_{c} (z) = \frac{((K_{p} + \frac{K_{i} \cdot T_{s}}{2}) + (- K_{p} + \frac{K_{i} \cdot T_{s}}{2}) \cdot z^{- 1})}{(1 - z^{- 1})}

(4)

식 (4)는 디지털 필터 및 이산 제어 시스템에서 널리 활용되는 표준 1차 유리 전달함수 형태로 간결하게 정의할 수 있습니다.

G_{c} (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} \cdot z^{- 1})}{(1 + a_{1} \cdot z^{- 1})}

(5)

식 (4)와 식 (5)의 분모 및 분자 계수를 상호 비교하면, 분모 계수 a_1은 항상 -1의 고정값을 갖습니다. 분자 계수인 b_0와 b_1은 연속 제어 게인 및 샘플링 주기의 대수적 조합으로 결정하는 계수입니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

태양광 MPPT 전압 제어기와 이산화 모델링의 필요성

Tustin 변환을 통한 z 영역 전달함수 유도

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