12V 부하 직결 전원의 우반평면 영점 발생 메커니즘
보드 내 부하 직결 전원(POL) 시스템에서 12V 버스 전압을 24V로 승압하여 특정 서브모듈이나 센서, 구동 드라이버에 공급하는 구조는 실무에서 자주 사용합니다. 그러나 승압 구조의 전력변환기는 스위칭 특성상 제어 이론 관점에서 매우 독특하고 까다로운 동특성을 나타내고 있습니다. 부하 측에서 더 많은 전류를 요구하거나 출력 전압 강하를 보상하기 위해 전압 제어기가 주 스위치의 턴온 듀티비를 증가시킬 때 비정상적인 과도응답이 발생합니다.
주 스위치가 도통되는 동안 인덕터는 입력 전원으로부터 에너지를 축적하지만, 출력단과 연결된 다이오드는 역바이어스되어 도통하지 않습니다. 따라서 듀티비가 증가한 직후 인덕터 충전 구간이 길어지면서 출력 커패시터와 부하 저항으로 공급되는 에너지는 일시적으로 완전히 차단되는 현상이 발생합니다. 이때 부하 전류는 오직 출력 필터 커패시터의 방전 전하에만 의존하므로, 제어기가 전압을 올리려고 듀티비를 늘렸음에도 불구하고 출력 전압은 초기 순간에 오히려 하강하는 역응답을 나타내고 있습니다.
일정 시간이 지나 인덕터 전류가 충분히 상승한 뒤에야 스위치가 꺼지는 오프 구간에서 축적된 에너지가 출력단으로 한꺼번에 전달되면서 출력 전압이 상승하기 시작합니다. 이러한 물리적 동작 메커니즘은 제어 입력 지령의 변화 방향과 시스템 출력의 초기 반응 방향이 반대로 나타나는 비최소 위상 특성을 형성하며, 이를 주파수 영역에서 표현한 모델이 바로 우반평면 영점입니다.
소신호 모델링과 우반평면 영점 전달함수 유도
부하 직결 전원의 제어기를 체계적으로 설계하기 위해서는 상태공간 평균화 기법을 적용하여 소신호 전달함수를 도출해야 합니다. 연속 도통 모드에서 동작하는 승압형 컨버터의 정상상태 입출력 전압 관계는 스위칭 듀티비 D를 기준으로 식 (1)과 같이 정의할 수 있습니다.
식 (1)에서 V_in은 입력 전압이며 V_out은 정상상태 출력 전압입니다. 인덕터 전류와 출력 커패시터 전압을 상태 변수로 두고, 정상상태 동작점 부근에서 미소 신호 섭동을 가해 선형화하면 제어 듀티비 변동에 대한 출력 전압 응답의 전달함수 G_vd(s)를 식 (2)와 같은 2차 시스템 형태로 도출할 수 있습니다.
식 (2)에서 G_vd0는 직류 전압 이득이고, 분모는 인덕터와 커패시터 공진에 의한 복소 공액 극점을 나타내며, 분자에 s 평면의 양의 실수 영역에 위치하는 영점 항이 존재합니다. 이 우반평면 영점의 각주파수 ω_z,RHP는 회로의 부하 저항 R, 듀티비 D, 인덕턴스 L을 바탕으로 식 (3)과 같이 결정할 수 있습니다.
식 (3)을 살펴보면 인덕턴스 L이 커질수록, 또는 듀티비 D가 증가하거나 부하 저항 R이 작아질수록 우반평면 영점의 각주파수는 더 낮은 주파수 대역으로 이동함을 알 수 있습니다.
비최소 위상 특성이 제어 루프에 미치는 영향
일반적인 제어 시스템에 존재하는 좌반평면 영점은 주파수가 증가할 때 크기 이득을 상승시키면서 위상을 최대 +90° 앞당겨 위상 여유를 개선하는 역할을 수행합니다. 반면에 우반평면 영점은 복소 평면의 우측에 위치하므로 완전히 상반된 주파수 응답 특성을 나타내고 있습니다.
우반평면 영점을 통과하는 주파수 영역에서 전달함수의 크기 이득은 일반 영점과 동일하게 주파수 10배당 +20 dB/dec의 기울기로 상승합니다. 그러나 위상 특성은 영점의 부호 차이로 인해 각주파수가 ω_z,RHP에 도달할 때 -45°, 주파수가 그 이상으로 높아질 때 -90°까지 위상을 지연시키는 결과를 초래합니다. 즉, 우반평면 영점은 크기 이득을 증폭시켜 교차 주파수를 높이도록 작용하면서도, 실제로는 극점처럼 위상을 심각하게 지연시키는 치명적인 비최소 위상 특성을 갖습니다.
이러한 위상 지연은 궤환 제어 루프의 위상 여유를 급격하게 잠식하여 시스템을 진동 상태로 몰아넣거나 제어 불안정을 유발합니다. 특히 비례적분이나 비례적분미분 보상기를 통해 고주파 대역에서 억지로 이득을 높이려고 시도하면, 우반평면 영점의 위상 지연과 결합하여 폐루프 시스템이 발산하는 심각한 문제를 초래합니다. 따라서 제어 루프의 대역폭을 우반평면 영점 주파수보다 충분히 낮은 대역으로 제한하는 설계가 필수적입니다.
12V 입력 승압 POL 회로의 영점 주파수와 대역폭 계산
12V 입력 전압을 받아 24V 출력 전압과 2A의 정격 부하 전류를 공급하는 48W급 보드 내 부하 직결 전원을 구체적인 예제로 설정하여 수치 해석을 진행합니다. 해당 회로의 인덕터 인덕턴스는 10 μH로 선정되어 있습니다.
먼저 정상상태 동작점에서 24V 전압과 2A 전류 조건에 따른 등가 부하 저항 R은 12 Ω으로 계산할 수 있습니다. 또한 식 (1)에 12V 입력과 24V 출력을 대입하면 정상상태 스위칭 듀티비 D는 0.5로 도출할 수 있습니다. 이 동작점 매개변수를 식 (3)에 대입하여 우반평면 영점의 각주파수를 구하면 12 Ω과 (1 – 0.5)^2의 곱인 3 Ω을 10 μH로 나눈 값이 되며, 계산 결과 각주파수 ω_z,RHP는 300 000 rad/s로 도출할 수 있습니다.
각주파수를 헤르츠 단위의 주파수로 변환하는 관계식은 식 (4)와 같습니다.
식 (4)에 300 000 rad/s를 대입하면 우반평면 영점 주파수 f_z,RHP는 약 47.75 kHz로 산출할 수 있습니다. 피드백 제어 시스템에서 45° 이상의 충분한 위상 여유를 확보하기 위한 폐루프 교차 주파수 f_c의 설계 기준은 식 (5)와 같이 설정할 수 있습니다.
식 (5)에 계산된 47.75 kHz를 대입하면 제어 루프의 대역폭 상한선 f_c는 15.9 kHz 이하로 엄격히 제한해야 합니다. 더욱 강건한 안정도를 확보하기 위해 기준 계수를 4나 5로 보수적으로 설정하는 경우에는 폐루프 대역폭을 각각 11.9 kHz 또는 9.55 kHz 이하로 설계해야 합니다.
맺음말
지금까지 12V 입력 보드 내 부하 직결 승압 전원에서 발생하는 우반평면 영점의 물리적 생성 원리와 소신호 전달함수를 도출하고, 정량적인 영점 주파수와 폐루프 대역폭 상한선을 산출하였습니다. 계산 예제에서 확인하였듯이 정격 조건에서 우반평면 영점 주파수는 47.75 kHz로 도출되었으며, 안정적인 위상 여유 확보를 위한 제어 대역폭은 15.9 kHz 이하로 제한되어야 함을 확인하였습니다.
실무 제어기 설계에서 반드시 주의해야 할 점은 우반평면 영점의 위치가 고정된 상수가 아니라 동작 조건에 따라 실시간으로 변동한다는 사실입니다. 식 (3)에서 알 수 있듯이 부하 전류가 증가하는 중부하 조건에서는 등가 부하 저항 R이 작아지므로 영점 주파수가 낮은 대역으로 이동하는 결과를 낳습니다.
아울러 입력 전압이 최저치로 떨어지면 요구되는 전압을 유지하기 위해 듀티비 D가 증가하므로 (1 – D)^2 항이 급격히 감소하여 영점 주파수를 더욱 낮추는 원인으로 작용합니다. 따라서 전원 제어기를 튜닝할 때는 공칭 동작점만이 아니라 최저 입력 전압과 최대 부하 전류가 결합된 최악 조건을 기준으로 우반평면 영점 주파수를 다시 계산하고, 해당 최저 주파수의 1/3 이하로 대역폭을 설정해야만 전체 운전 영역에서 제어 시스템의 안정성을 완벽히 보장할 수 있습니다.
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