이 글은 상태공간 평균화, 48V 부하 직결 전원 상태 공간 행렬과 동작점 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 상태공간 평균화의 기본 개념과 48V 부하 직결 전원의 모델링 전제, 스위치 도통과 차단 상태의 개별 상태 방정식 유도를 다룹니다.
상태공간 평균화의 기본 개념과 48V 부하 직결 전원의 모델링 전제
상태공간 평균화(State-Space Averaging)는 주기적으로 스위칭하는 전력변환기의 불연속적인 동작 특성을 연속 시간 상태 방정식으로 근사화하는 수학적 모델링 기법입니다.
현대 서버 및 고성능 연산 장치의 전원단에서는 48V 버스 전압을 프로세서 인근에서 직접 저전압 대전류로 변환하는 부하 직결 전원(Point-of-Load) 구조를 널리 적용합니다.
이러한 부하 직결 전원은 스위치의 온(On) 상태와 오프(Off) 상태에 따라 회로 연결 구조가 끊임없이 바뀌므로 비선형 시변 시스템의 특성을 갖습니다.
회로의 스위칭 주파수가 시스템의 고유 응답 주파수보다 충분히 높으면 상태 변수의 리플 크기가 평균 성분에 비해 매우 작아지는 작은 리플 근사(Small-Ripple Approximation)가 성립합니다.
이 전제 조건 하에서는 한 주기 동안의 복잡한 스위칭 맥동을 평균화하여 시스템의 거시적인 거동을 설명하는 선형 시불변에 가까운 모델을 유도할 수 있습니다.
모델링의 기초 단계로서 회로 내 에너지를 저장하는 소자인 인덕터의 전류와 출력 커패시터의 전압을 상태 변수로 선정합니다.
상태 벡터와 입력 전압 벡터는 식 (1)과 같이 정의합니다.
상태 벡터의 첫 번째 성분은 인덕터 전류이며 두 번째 성분은 출력 커패시터 전압입니다.
입력 벡터는 전원 공급단에서 유입되는 직류 전압인 48V 입력 전압 성분으로 구성합니다.
이러한 벡터 정의를 바탕으로 스위칭 상태에 따른 개별 미분 방정식을 수립하는 단계로 진행합니다.
스위치 도통과 차단 상태의 개별 상태 방정식 유도
부하 직결 전원의 스위칭 동작은 크게 주 스위치가 켜지는 도통 구간과 동기 정류 스위치가 켜지는 차단 구간의 두 가지 모드로 구분할 수 있습니다.
도통 구간은 듀티비 d와 스위칭 주기 Ts의 곱에 해당하는 시간 동안 상태를 유지합니다.
이 구간에서는 48V 입력 전압이 인덕터의 한쪽 단자에 직접 연결되어 인덕터 전류가 증가합니다.
인덕터 전압 방정식과 키르히호프 전류 법칙을 적용한 커패시터 전류 방정식은 각각 식 (2)와 식 (3)으로 유도할 수 있습니다.
식 (2)와 식 (3)을 행렬 형태로 정리하면 도통 상태의 상태 공간 방정식은 식 (4)와 같이 표현할 수 있습니다.
이때 도통 상태의 시스템 행렬과 입력 행렬은 각각 식 (5) 및 식 (6)과 같습니다.
반면 스위치 차단 구간에서는 주 스위치가 꺼지고 동기 정류 스위치가 도통하여 인덕터 전압이 접지 전위와 도통 상태를 형성합니다.
이 구간에서는 입력 전압원과의 연결이 차단되므로 인덕터 미분 방정식은 식 (7)과 같이 단순한 형태를 갖습니다.
커패시터 전압 미분 방정식은 출력단 부하 저항과의 병렬 관계를 유지하므로 도통 구간의 식 (3)과 동일한 형태를 갖습니다.
따라서 차단 상태의 상태 공간 방정식은 식 (8)로 정의합니다.
차단 상태를 결정하는 두 행렬은 식 (9)와 식 (10)으로 나타낼 수 있습니다.
시스템 행렬 A_1과 A_2는 회로 구조상 동일한 성분을 가지며, 입력 행렬 B_2는 입력 전원 차단으로 인해 영행렬의 형태를 갖습니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.