이산 시스템 안정도, 계통 안정화 제어기 단위원 판정과 주리 판별법 1편

이 글은 이산 시스템 안정도, 계통 안정화 제어기 단위원 판정과 주리 판별법을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 이산 시스템 안정도의 핵심 개념과 z-평면 단위원 판정 기준, 2차 폐루프 제어 시스템의 이산 특성방정식 유도를 다룹니다.

이산 제어 시스템의 복소 z-평면 단위원 매핑 원리, 2차 폐루프 특성방정식 유도 과정, 그리고 주리 판별법의 3대 대수적 안정도 조건과 매개변수 평면 안정 삼각 영역을 나타낸 종합 개념도입니다.

이산 시스템 안정도의 핵심 개념과 z-평면 단위원 판정 기준

연속 시간 제어 이론에서는 복소 s-평면의 좌반평면에 모든 폐루프 극점이 위치할 때 시스템이 점근적으로 안정하다고 판정합니다. 반면에 마이크로프로세서나 디지털 신호 처리기 기반의 디지털 제어기에서는 시간 축이 이산화되므로 안정도 판정 기준이 연속 시간 영역과 다릅니다. 이산 제어 시스템의 동특성은 복소 z-평면에서 해석하며, s-평면과 z-평면은 샘플링 주기 T를 매개로 변환됩니다.

z = e^{s \cdot T}

(1)

식 (1)에서 s는 연속 시간 복소 변수이며, T는 디지털 제어기의 샘플링 주기입니다. 연속 시간에서의 안정 영역인 s-평면의 좌반평면, 즉 실수부가 음수인 영역을 식 (1)에 대입하면 복소수 크기는 1보다 작아집니다. 따라서 연속 시간 s-평면의 좌반평면 전체는 z-평면에서 반지름이 1인 원의 내부, 즉 단위원 내부 영역으로 매핑됩니다.

또한 s-평면의 허수축은 크기가 정확히 1이 되어 z-평면 단위원의 둘레로 매핑되며, s-평면의 우반평면은 단위원 외부 영역으로 매핑됩니다. 이에 따라 이산 제어 시스템의 폐루프 특성방정식을 만족하는 모든 극점의 절댓값이 1보다 작아야 시스템의 시간 응답이 지수함수적으로 감쇠하며 안정성을 유지합니다. 단 하나의 극점이라도 단위원 밖에 위치하면 시스템 출력은 시간에 따라 진폭이 급증하여 발산하게 됩니다.

2차 폐루프 제어 시스템의 이산 특성방정식 유도

계통 안정화 제어기에서 전력망의 주파수 및 전압 변동을 억제하기 위한 제어 루프는 대표적으로 2차 동특성 모델로 근사화할 수 있습니다. 디지털 제어기는 영차 홀드를 통해 연속 시간 플랜트와 결합되며, 디지털 비례-적분 제어기를 적용하여 폐루프를 구성합니다.

연속 시간 플랜트와 영차 홀드가 결합된 이산 플랜트 전달함수를 G_d(z)라 하고, 디지털 제어기 전달함수를 C(z)라 할 때, 1차 지연을 갖는 계통 플랜트의 이산화 모델은 식 (2)와 같이 정의됩니다.

G_{d} (z) = \frac{β}{(z - α)}

(2)

식 (2)에서 α와 β는 각각 식 (3) 및 식 (4)와 같이 정의됩니다.

α = e^{- a \cdot T}

(3)

β = \frac{(1 - e^{- a \cdot T})}{a}

(4)

여기서 a는 계통 플랜트 시정수의 역수입니다. 디지털 비례-적분 제어기 C(z)는 후진 차분 방식을 적용하여 z-영역에서 식 (5)와 같이 표현됩니다.

C (z) = \frac{(K_{1} \cdot z - K_{2})}{(z - 1)}

(5)

식 (5)에서 비례 게인을 K_p, 적분 게인을 K_i라 할 때, K_1은 식 (6)과 같이 정의되며, K_2는 K_p로 정의됩니다.

K_{1} = K_{p} + K_{i} \cdot T

(6)

폐루프 시스템의 특성방정식은 식 (7)과 같이 주어집니다.

1 + C (z) \cdot G_{d} (z) = 0

(7)

이를 전개하여 2차 다항식 형태로 정리하면 식 (8)을 얻을 수 있습니다.

P (z) = z^{2} + (β \cdot K_{1} - (1 + α)) \cdot z + (α - β \cdot K_{2}) = 0

(8)

식 (8)은 일반적인 2차 이산 특성방정식인 식 (9)의 형태를 가집니다.

P (z) = a_{2} \cdot z^{2} + a_{1} \cdot z + a_{0} = 0

(9)

여기서 최고차항 계수 a_2는 1이고, 1차항 계수 a_1과 상수항 a_0은 각각 식 (10) 및 식 (11)과 같이 정의됩니다.

a_{1} = β \cdot K_{1} - (1 + α)

(10)

a_{0} = α - β \cdot K_{2}

(11)

폐루프 시스템이 안정하기 위해서는 식 (8)의 두 극점이 모두 복소 평면의 단위원 내부에 존재해야 합니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

이산 시스템 안정도의 핵심 개념과 z-평면 단위원 판정 기준

2차 폐루프 제어 시스템의 이산 특성방정식 유도

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