이 글은 이산화 방법 비교, 로봇 관절 제어기 후방 오일러와 투스틴 변환 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 제어 주기 100 μs 조건의 위상 지연과 주파수 왜곡 계산, 맺음말을 설명합니다.
제어 주기 100 μs 조건의 위상 지연과 주파수 왜곡 계산
로봇 관절 서보 드라이브의 일반적인 제어 주기인 T_s = 100 μs(샘플링 주파수 10 kHz) 환경에서 목표 제어 주파수 1 kHz(각주파수 약 6283.18 rad/s)에 대한 수치 해석을 진행합니다.
투스틴 변환에서 발생하는 아날로그 각주파수 ω_a와 디지털 각주파수 ω_d의 주파수 왜곡 관계식은 다음과 같습니다.
디지털 각주파수 6283.18 rad/s 조건에서 정규화된 디지털 각도는 다음과 같이 계산됩니다.
식 (10)의 각도를 식 (9)에 대입하여 연속 도메인에서의 대응 주파수를 계산합니다.
계산 결과 목표 주파수 1000 Hz에 대응하는 연속 도메인의 등가 주파수는 1034.25 Hz로 나타나며 약 3.42%의 주파수 왜곡이 발생합니다. 따라서 특정 차단 주파수에서 정확한 이득을 확보하기 위해서는 사전 왜곡(Prewarping) 기법을 적용하여 연속 전달함수의 파라미터를 보정해야 합니다.
적분기 위상 특성을 비교하면 연속 시간 적분기는 모든 주파수에서 -90.0°의 위상을 유지합니다. 투스틴 변환 적분기 역시 모든 주파수에서 -90.0°의 위상을 정확히 유지하여 위상 오차가 0°입니다. 반면 후방 오일러 적분기의 주파수 응답 위상은 다음과 같이 계산됩니다.
식 (12)에서 후방 오일러는 1 kHz에서 위상이 -72.0°로 나타나 연속 적분기 대비 +18.0°의 위상 편차를 보이며 과도한 수치 감쇠를 유발합니다.
여기에 마이크로컨트롤러의 디지털 출력 유지 특성인 영차 홀드(ZOH)와 1주기 연산 지연을 반영해야 합니다. 영차 홀드의 전달함수는 다음과 같습니다.
영차 홀드는 평균 0.5 샘플 주기의 시간 지연을 만들며, 샘플링 후 다음 주기에 전압 지령을 갱신하는 연산 지연 1.0 샘플 주기를 합산하면 전체 제어 루프의 총 시간 지연은 1.5 샘플 주기가 됩니다. 이로 인해 발생하는 총 위상 지연은 다음과 같이 계산됩니다.
식 (14)의 계산과 같이 1 kHz 대역에서 하드웨어 지연만으로도 위상 여유가 54.0° 급감하므로 제어 대역폭 설계 시 이를 반드시 차감하여 안정도 마진을 확보해야 합니다.
맺음말
본 글에서는 로봇 관절 서보 제어기 구현에 적용되는 이산화 기법들의 수학적 사상 특성과 수치 계산 결과를 비교 분석하였습니다. 전방 오일러 기법은 단위원 외부 사상으로 인해 제어 루프가 불안정해질 위험이 커 실무 서보 드라이브 구현에서 지양해야 합니다. 후방 오일러 기법은 무조건적인 안정도를 제공하므로 연산 리소스가 극도로 제한된 저가형 제어기나 단순 1차 저역통과 필터 구현에 적합합니다.
반면 투스틴 변환은 위상 왜곡이 없어 고성능 로봇 관절 위치 및 속도 서보 루프에 가장 적합한 표준 이산화 기법입니다. 제어 주기 100 μs, 목표 주파수 1 kHz 조건에서 투스틴 변환은 위상 오차 0°를 유지하였으나 3.42%의 주파수 왜곡이 확인되었습니다. 정밀한 주파수 응답이 요구되는 필터나 공진 억제 노치 필터를 설계할 때는 사전 왜곡 보상이 필수적입니다.
또한 디지털 제어기에서는 이산화 알고리즘 자체의 특성 외에도 영차 홀드(ZOH)와 1샘플 연산 지연으로 인해 총 1.5 샘플 주기의 루프 지연이 발생합니다. 수치 계산에서 확인하였듯이 1 kHz 대역에서 54.0°의 위상 지연이 발생하므로 서보 루프의 차단 주파수는 샘플링 주파수의 10분의 1 이하로 설정하여 충분한 위상 여유를 확보해야 합니다. 이러한 수학적 검증과 하드웨어 지연 특성을 종합적으로 고려하여 로봇 관절 제어기를 구현해야만 진동 없는 안정적인 서보 성능을 달성할 수 있습니다.
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.