이산화 방법 비교, 로봇 관절 제어기 후방 오일러와 투스틴 변환 계산 1편

이 글은 이산화 방법 비교, 로봇 관절 제어기 후방 오일러와 투스틴 변환 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 로봇 관절 디지털 제어와 이산화 기법의 필요성, 오일러 기법과 투스틴 변환의 수식 유도 및 단위원 사상, 로봇 관절 PI 제어기 이산화와 차분 방정식 도출을 다룹니다.

연속 s-평면의 좌반평면 안정 영역이 전방 오일러, 후방 오일러, 투스틴 변환에 따라 z-평면 단위원 내외로 사상되는 영역과 안정도 특성을 비교한 도식입니다.

로봇 관절 디지털 제어와 이산화 기법의 필요성

로봇 관절 구동에 사용하는 서보 모터 시스템은 정밀한 위치 추종과 빠른 속도 응답을 달성하기 위해 연속 시간 도메인에서 제어기를 설계합니다. 모터의 전기적 시정수와 기계적 관성 모멘트를 기반으로 전달함수를 모델링하고 비례 적분(PI) 제어기의 연속 파라미터를 결정합니다. 하지만 실제 산업용 다관절 로봇이나 협동 로봇의 관절 구동 드라이브는 디지털 신호처리기(DSP) 또는 마이크로컨트롤러(MCU)를 기반으로 동작합니다. 따라서 연속 시간 미분방정식으로 표현된 제어 알고리즘을 이산 시간 차분 방정식으로 변환하는 이산화 과정이 필수적입니다.

디지털 제어기는 일정한 샘플링 주기마다 아날로그-디지털 변환기(ADC)를 통해 엔코더 위치 신호와 상전류를 측정합니다. 수집된 이산 데이터는 제어 연산 알고리즘을 거쳐 펄스 폭 변조(PWM) 전압 지령으로 출력됩니다. 이때 연속 시간 전달함수를 이산 시간 차분 방정식으로 어떻게 근사하는가에 따라 폐루프 시스템의 안정도와 동특성이 크게 달라집니다. 부적절한 이산화 기법을 적용하면 연속 도메인에서 안정적으로 설계된 제어기라 하더라도 디지털 영역에서 발산하거나 심각한 진동을 유발할 수 있습니다.

로봇 관절 제어기 구현에서 주로 비교 검토되는 수치 적분 이산화 방법으로는 전방 오일러(Forward Euler) 기법, 후방 오일러(Backward Euler) 기법, 그리고 쌍선형 변환으로 불리는 투스틴(Tustin) 기법이 있습니다. 여기에 디지털 하드웨어의 신호 유지 특성을 나타내는 영차 홀드(ZOH) 모델이 결합하여 최종적인 이산 시스템 응답을 결정합니다. 엔지니어는 각 변환 기법의 수학적 특성과 사상 영역의 차이를 명확히 이해하고 제어 주기와 목표 대역폭에 부합하는 방식을 선정해야 합니다.

오일러 기법과 투스틴 변환의 수식 유도 및 단위원 사상

연속 복소평면인 s-평면의 전달함수를 디지털 영역인 z-평면으로 변환할 때 사용하는 대표적인 세 가지 수치 근사법의 수학적 정의를 비교합니다. 연속 시간의 미분 연산자 s를 이산 시간 지연 연산자 z와 샘플링 주기 T_s로 표현하는 방식에서 근본적인 차이가 발생합니다.

전방 오일러 기법은 현재 시점의 미분값을 전방 차분으로 근사하는 방식으로 수식은 다음과 같이 정의됩니다.

s = \frac{(z - 1)}{T_{s}}

(1)

식 (1)에서 s-평면의 안정 영역인 좌반평면은 z-평면에서 실수부가 1보다 작은 영역으로 사상됩니다. 이 영역은 z-평면의 안정도 경계인 단위원(|z| ≤ 1)의 바깥 영역을 넓게 포함합니다. 따라서 연속 시간에서 안정했던 극점이라도 샘플링 주기가 충분히 작지 않으면 단위원 외부로 벗어나 디지털 제어 시스템이 불안정해지는 심각한 결함이 발생합니다.

후방 오일러 기법은 현재 시점의 미분값을 후방 차분으로 근사하며 수식은 다음과 같이 정의됩니다.

s = \frac{(1 - z^{- 1})}{T_{s}} = \frac{(z - 1)}{(T_{s} \cdot z)}

(2)

식 (2)에서 s-평면의 허수축과 좌반평면 전체는 z-평면 내부의 중심 좌표 (0.5, 0), 반지름 0.5인 원의 내부로 사상됩니다. 이 사상 영역은 z-평면의 단위원 내부에 완전히 포함되므로 연속 도메인에서 안정한 모든 극점은 이산화 후에도 무조건 단위원 안쪽에 위치합니다. 이를 무조건적 안정성(A-stable)이라고 부르며 수치적 발산 위험이 전혀 없습니다. 다만 고주파 대역에서 감쇠가 과도하게 발생하고 위상 지연이 증가하는 한계를 지닙니다.

투스틴 변환은 사다리꼴 적분 규칙을 적용한 쌍선형 변환으로 수식은 다음과 같이 정의됩니다.

s = \frac{\frac{2}{T_{s}} \cdot (z - 1)}{(z + 1)}

(3)

식 (3)에서 s-평면의 허수축 전체는 z-평면의 단위원 둘레로 정확히 1대1 사상되며, s-평면의 좌반평면 전체는 단위원 내부 전체로 사상됩니다. 따라서 안정성이 완벽하게 보존되며 저주파부터 고주파까지 위상 오차가 최소화됩니다. 그러나 무한대의 아날로그 주파수 축이 단위원의 나이퀴스트 주파수 구간으로 압축되면서 고주파 대역에서 주파수 왜곡(Warping) 현상이 동반됩니다.

로봇 관절 PI 제어기 이산화와 차분 방정식 도출

로봇 관절의 속도 루프 및 전류 루프에 적용되는 연속 시간 비례 적분(PI) 제어기의 전달함수를 이산화하여 디지털 연산 코드로 변환하는 과정을 전개합니다. 연속 시간 PI 제어기의 전달함수는 비례 게인 K_p와 적분 게인 K_i를 사용하여 다음과 같이 정의됩니다.

C (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s}

(4)

식 (4)의 적분기 항에 식 (2)의 후방 오일러 변환을 대입하여 정리하면 이산 전달함수를 도출할 수 있습니다.

C_{BE} (z) = K_{p} + \frac{K_{i} \cdot T_{s}}{(1 - z^{- 1})} = \frac{((K_{p} + K_{i} \cdot T_{s}) - K_{p} \cdot z^{- 1})}{(1 - z^{- 1})}

(5)

제어 출력 U(z)와 오차 신호 E(z)의 관계에서 양변에 분모를 곱하고 역 z-변환을 적용하면 C 언어로 구현 가능한 후방 오일러 차분 방정식이 유도됩니다.

u [k] = u [k - 1] + (K_{p} + K_{i} \cdot T_{s}) \cdot e [k] - K_{p} \cdot e [k - 1]

(6)

식 (6)의 형태는 직전 주기의 제어 출력과 현재 오차 및 이전 오차의 가중합으로 현재 제어 출력을 즉각 계산할 수 있어 연산량이 매우 적고 구조가 간결합니다.

다음으로 식 (4)의 적분기 항에 식 (3)의 투스틴 변환을 대입하여 정리하면 이산 전달함수는 다음과 같이 도출됩니다.

C_{TU} (z) = K_{p} + \frac{K_{i} \cdot \frac{T_{s}}{2} \cdot (1 + z^{- 1})}{(1 - z^{- 1})}

(7)

이를 통분하여 정리한 후 역 z-변환을 적용하면 투스틴 변환 기반의 속도형 차분 방정식을 도출할 수 있습니다.

u [k] = u [k - 1] + (K_{p} + \frac{K_{i} \cdot T_{s}}{2}) \cdot e [k] + (- K_{p} + \frac{K_{i} \cdot T_{s}}{2}) \cdot e [k - 1]

(8)

식 (8)을 위치형 적분기 형태로 분리하여 구현할 수도 있습니다. 적분 상태 변수를 별도로 유지하면서 사다리꼴 면적을 누적하는 방식을 취하면 적분기 안티와인드업(Anti-windup) 처리가 수월해집니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

로봇 관절 디지털 제어와 이산화 기법의 필요성

오일러 기법과 투스틴 변환의 수식 유도 및 단위원 사상

로봇 관절 PI 제어기 이산화와 차분 방정식 도출

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