이 글은 디지털 노치 필터 설계, 48V 배터리 충방전 공진 억제와 계수 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 48V 배터리 충방전 조건에서의 계수 산출 예제, 위상 지연 특성과 디지털 제어기 구현 주의사항, 맺음말을 설명합니다.
48V 배터리 충방전 조건에서의 계수 산출 예제
실제 48V 배터리 팩 충방전 전류 제어기에 적용하는 구체적인 수치 예제를 통해 계수 산출 과정을 검증합니다. 제어 시스템의 스위칭 및 제어 샘플링 주기 T_s를 50μs(샘플링 주파수 20kHz)로 설정하고, 시스템 분석을 통해 제거해야 할 LC 기생 공진 주파수 f_0를 1kHz로 특정합니다. 필터의 품질 계수 Q는 5로 설정하여 대역폭 BW를 200Hz로 설계합니다.
먼저 1편의 식 (2)에 의해 연속 중심 각주파수 ω_0를 계산하면 약 6283.19 rad/s를 얻을 수 있습니다. 1편의 식 (8)에 따라 샘플링 상수 K는 40000으로 계산합니다. 1편의 식 (6)에 대입하여 주파수 사전 왜곡 각주파수 ω_p를 구하면 약 6335.38 rad/s의 값을 얻을 수 있습니다.
이제 유도된 수식에 각 파라미터를 대입하여 분모 기준 계수 a_0 및 분자 분모 항들을 순차적으로 연산합니다. 1편의 식 (9)에 의해 산출되는 정규화 전 분모 상수 a_0는 1 690 820 032입니다. 정규화 전 분자 상수항은 1 640 137 011이며, 1차 지연 항의 계수는 -3 119 725 978입니다. 2차 지연 분모 항은 1 589 453 990으로 도출할 수 있습니다.
최종적으로 a_0로 각 항을 나누어 정규화한 이산 필터 계수는 다음과 같이 정리합니다. b_0는 0.970025이며, b_1은 -1.845096이고, b_2는 0.970025입니다. 분모 계수 a_1은 -1.845096이며, a_2는 0.940049로 확정할 수 있습니다. 이 계수를 1편의 식 (13)의 차분 방정식에 적용하면 1kHz 공진 성분에서 -40dB 이상의 급격한 감쇠 특성을 달성하면서 48V 충방전 제어 루프의 직류 전류 신호를 손실 없이 통과시킬 수 있습니다.
위상 지연 특성과 디지털 제어기 구현 주의사항
디지털 노치 필터를 제어 루프에 성공적으로 안착시키기 위해서는 주파수 응답에 따른 위상 지연 특성과 실시간 소프트웨어 구현 상의 안정성을 면밀히 검토해야 합니다. 노치 필터는 차단 주파수 f_0보다 낮은 대역에서 필연적으로 위상 지연(Phase Lag)을 유발하며, 차단 주파수를 지난 고주파 대역에서는 위상 진상(Phase Lead) 특성을 보입니다.
만약 전류 제어 루프의 대역폭(교차 주파수)이 노치 필터의 차단 주파수와 너무 근접하면, 노치 필터에 의한 위상 지연이 주 제어기의 위상 여유(Phase Margin)를 잠식하여 시스템이 불안정해질 수 있습니다. 따라서 제어기 교차 주파수는 노치 주파수의 3분의 1 이하로 이격시켜 위상 여유를 최소 45° 이상 안정적으로 확보해야 합니다.
실시간 임베디드 소프트웨어 구현 측면에서는 부동소수점 연산 예외 처리와 상태 변수 관리가 매우 중요합니다. 센서 배선의 순간적인 접촉 불량이나 ADC 오버플로로 인해 입력값 x[n]에 비정상 수치(NaN 또는 Inf)가 유입되면, IIR 필터의 피드백 루프로 인해 오염된 값이 순환하여 제어 루프 마비 상태를 유발합니다. 이를 방지하기 위해 매 주기마다 입력 데이터의 유효성을 검사하고 비정상 값이 감지되면 직전 정상 상태값으로 클램핑(Clamping)하는 보호 로직을 구성해야 합니다. 또한 충방전 모드 전환 시에는 과거 버퍼 변수들(x[n-1], x[n-2], y[n-1], y[n-2])을 현재 정상상태 전류값으로 동기화하여 출력 급증을 방지해야 합니다.
맺음말
본 글에서는 48V 배터리 팩 충방전 시스템의 제어 안정성을 저해하는 특정 공진 신호를 제거하기 위한 2차 IIR 디지털 노치 필터의 설계 및 계수 산출 과정을 살펴보았습니다. 연속시간 전달함수 H(s)의 파라미터 정의부터 쌍선형 변환 및 주파수 사전 왜곡을 통한 이산 영역 전달함수 H(z)의 계수 유도까지 체계적으로 전개하였습니다.
샘플링 주파수 20kHz, 중심 공진 주파수 1kHz, 품질 계수 Q=5 조건에서 도출된 이산 필터 계수는 b_0=0.970025, b_1=-1.845096, b_2=0.970025, a_1=-1.845096, a_2=0.940049입니다. 이 계수를 차분 방정식에 적용함으로써 광대역 LPF의 한계를 극복하고 제어 응답성을 보존하면서도 공진 피크를 효과적으로 억제할 수 있습니다.
실무 개발 현장에서는 배터리 충방전 상태(SOC)나 온도, 배선 길이에 따라 실제 공진 주파수가 미세하게 변동할 수 있으므로 품질 계수 Q를 시스템 허용 범위 내에서 유연하게 튜닝해야 합니다. 아울러 제어 루프의 위상 여유를 상시 모니터링하고 수치적 NaN 전파 방지 대책을 견고하게 적용함으로써 신뢰성 높은 고성능 배터리 충방전 제어기를 완성할 수 있습니다.
이 글은 앞선 내용을 몰라도 읽을 수 있게 썼습니다. 배경이 궁금하다면 이산화 방법 비교, 로봇 관절 제어기 후방 오일러와 투스틴 변환 계산을 함께 보면 도움이 됩니다: https://www.infoshirimp.co.kr/?p=185
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.