디지털 노치 필터 설계, 48V 배터리 충방전 공진 억제와 계수 계산 1편

이 글은 디지털 노치 필터 설계, 48V 배터리 충방전 공진 억제와 계수 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 배터리 충방전 제어 루프의 공진과 노치 필터의 필요성, 연속시간 노치 필터 전달함수와 파라미터 정의, 쌍선형 변환을 통한 디지털 노치 필터 계수 유도를 다룹니다.

48V 배터리 충방전 제어 루프에서 발생하는 기생 LC 공진을 억제하기 위한 연속시간 노치 필터 설계와 쌍선형 변환 기반 디지털 IIR 필터 구현 과정을 보여줍니다.

배터리 충방전 제어 루프의 공진과 노치 필터의 필요성

48V 배터리 팩 충방전 시스템은 대전류 제어와 정밀한 전압 제어가 동시에 요구되는 전력전자 응용 분야입니다. 충방전 제어기는 배터리 셀의 열화를 방지하고 급격한 전류 변동에 대처하기 위해 수십 kHz 주파수로 전류 제어 루프를 고속 연산합니다. 그러나 실제 시스템 환경에서는 전원 필터 커패시터, 인덕터, 배터리 팩 내부 임피던스 및 긴 배선 케이블의 기생 인덕턴스가 결합하여 특정 주파수 대역에서 원치 않는 LC 공진 피크를 형성합니다.

이러한 공진 신호가 전류 센서 피드백 경로로 유입되면 제어 루프 내에서 증폭되어 심각한 제어 불안정성과 전류 리플을 유발합니다. 이 문제를 해결하기 위해 일반적인 1차 저역통과필터(LPF)를 과도하게 낮은 차단 주파수로 설정하면 시스템 전체의 위상 지연이 급격히 증가합니다. 위상 지연의 증가는 주 제어기의 위상 여유를 잠식하여 제어 속응성을 크게 떨어뜨리고 시스템을 발산 위험에 빠뜨릴 수 있습니다.

따라서 배터리 충방전 시스템에서는 전체 제어 대역폭을 희생시키지 않으면서 문제가 되는 공진 주파수 신호만을 선택적으로 급격히 감쇠시키는 대역 저지 필터가 필요합니다. 디지털 노치 필터는 특정 중심 주파수 성분을 완벽히 제거하면서도 직류 성분과 주 제어 주파수 대역의 이득 및 위상에는 거의 영향을 주지 않는 최적의 제어 솔루션입니다.

연속시간 노치 필터 전달함수와 파라미터 정의

디지털 노치 필터를 설계하기 위해서는 먼저 아날로그 영역에서의 2차 연속시간 노치 필터 전달함수를 수학적으로 명확히 정의해야 합니다. 연속시간 영역에서 이상적인 대칭형 2차 노치 필터의 전달함수 H(s)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

H (s) = \frac{(s^{2} + ω_{0}^{2})}{(s^{2} + \frac{ω_{0}}{Q} \cdot s + ω_{0}^{2})}

(1)

식 (1)에서 ω_0는 완전히 제거하고자 하는 대상 공진 각주파수이며, Q는 노치 필터의 품질 계수(Quality Factor)를 나타냅니다. 공진 중심 주파수를 f_0라고 할 때, 중심 각주파수 ω_0와의 관계는 다음과 같이 정의합니다.

ω_{0} = 2 \cdot π \cdot f_{0}

(2)

식 (1)의 분모 다항식에서 1차 항 계수인 식 (3)은 필터의 차단 대역폭을 결정짓는 핵심 인자입니다.

\frac{ω_{0}}{Q}

(3)

노치 필터의 -3dB 감쇠 대역폭 BW는 공진 주파수와 품질 계수의 비로 나타낼 수 있습니다.

BW = \frac{f_{0}}{Q}

(4)

식 (4)에 따라 Q 인자를 높게 설정할수록 노치 필터의 차단 대역폭은 좁아지며, 특정 공진 주파수 주변에만 국소적으로 감쇠를 발생시킵니다. 배터리 충방전 제어 루프에서는 주 제어 대역의 위상 손실을 최소화하기 위해 통상적으로 3 이상의 높은 Q 값을 선정합니다. 그러나 Q 값을 지나치게 높이면 하드웨어 공차나 온도 변화로 인한 공진 주파수 변동에 대응하기 어려워지므로 적절한 절충점 선정이 필수적입니다.

쌍선형 변환을 통한 디지털 노치 필터 계수 유도

연속시간 영역에서 정의된 노치 필터를 디지털 신호처리기(DSP) 또는 마이크로컨트롤러(MCU)에서 실행하려면 이산 시간 영역으로 변환해야 합니다. 이를 위해 연속 s평면을 이산 z평면으로 사상하는 쌍선형 변환(Bilinear Transform, Tustin 변환)을 적용합니다. 쌍선형 변환 공식은 제어 샘플링 주기 T_s를 기준으로 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

s = \frac{\frac{2}{T_{s}} \cdot (1 - z^{- 1})}{(1 + z^{- 1})}

(5)

쌍선형 변환은 연속 영역의 무한 주파수 축을 이산 영역의 나이퀴스트 주파수 범위로 압축하므로 고주파수 영역에서 주파수 왜곡 현상이 발생합니다. 이를 정확히 보정하여 설계 목표 공진 주파수 f_0와 디지털 필터의 차단 주파수를 완벽히 일치시키기 위해 주파수 사전 왜곡(Pre-warping) 각주파수 ω_p를 산출합니다.

ω_{p} = \frac{2}{T_{s}} \cdot \tan \frac{ω_{0} \cdot T_{s}}{2}

(6)

디지털 제어기에서 구현되는 2차 IIR(Infinite Impulse Response) 바이콰드 필터의 일반적인 전달함수 H(z)는 다음과 같습니다.

H (z) = \frac{(b_{0} + b_{1} \cdot z^{- 1} + b_{2} \cdot z^{- 2})}{(1 + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{2} \cdot z^{- 2})}

(7)

식 (5)의 s 변환 관계에 사전 왜곡 각주파수 ω_p를 적용하여 식 (1)에 대입하고 정리하면 이산 계수 산출식을 유도할 수 있습니다. 계산 편의를 위해 샘플링 상수 K를 다음과 같이 정의합니다.

K = \frac{2}{T_{s}}

(8)

분모 다항식의 기준 정규화 계수 a_0는 다음과 같이 계산합니다.

a_{0} = K^{2} + \frac{K \cdot ω_{p}}{Q} + ω_{p}^{2}

(9)

정규화 과정을 거친 2차 IIR 디지털 노치 필터의 5개 계수는 다음 수식으로 도출할 수 있습니다.

b_{0} = \frac{(K^{2} + ω_{p}^{2})}{a_{0}}

(10)

b_{1} = \frac{2 \cdot (ω_{p}^{2} - K^{2})}{a_{0}}

(11)

a_{2} = \frac{(K^{2} - \frac{K \cdot ω_{p}}{Q} + ω_{p}^{2})}{a_{0}}

(12)

대칭형 노치 필터의 특성상 분자 2차 계수 b_2는 b_0와 동일하며, 분모 1차 계수 a_1은 b_1과 정확히 일치합니다. 따라서 최종 차분 방정식은 다음과 같이 정리되어 매 제어 주기마다 적은 연산량으로 계산할 수 있습니다.

y [n] = b_{0} \cdot x [n] + b_{1} \cdot x [n - 1] + b_{2} \cdot x [n - 2] - a_{1} \cdot y [n - 1] - a_{2} \cdot y [n - 2]

(13)

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

배터리 충방전 제어 루프의 공진과 노치 필터의 필요성

연속시간 노치 필터 전달함수와 파라미터 정의

쌍선형 변환을 통한 디지털 노치 필터 계수 유도

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