적분 미분 시정수 정리, 5kW 연료전지 제어기 Ti Tt Td 계산 1편

이 글은 적분 미분 시정수 정리, 5kW 연료전지 제어기 Ti Tt Td 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 PID 제어기 구조에 따른 적분과 미분 시정수 정의, 표준형과 직렬형 시정수의 상호 변환 관계식을 다룹니다.

연료전지 5kW 전력 변환기 제어기에서 표준형 PID 시정수 정의, 직렬형 상호 변환 구조, 백칼큘레이션 안티와인드업 추적 제어 루프의 단계별 구성과 계산 관계를 보여줍니다.

PID 제어기 구조에 따른 적분과 미분 시정수 정의

전력전자 제어 시스템에서 비례 적분 미분 제어기는 직류단 전압 및 인덕터 전류를 목표값으로 정밀하게 추종하기 위한 핵심 제어 알고리즘입니다. 제어 이론과 디지털 신호 처리 구현 환경에서는 제어기 파라미터를 표현하는 방식에 따라 병렬형과 표준형으로 구분하여 설계합니다. 병렬형 제어기는 비례 게인, 적분 게인, 미분 게인이 독립적인 덧셈 형태로 결합된 구조를 갖추고 있습니다.

C_{p} (s) = K_{p} + \frac{K_{i}}{s} + K_{d} \cdot s

(1)

식 (1)에서 K_p는 비례 게인, K_i는 적분 게인, K_d는 미분 게인을 각각 의미합니다. 제어 공학에서는 주파수 응답 해석과 직관적인 튜닝을 위하여 게인 대신 시간 차원을 가지는 시정수로 변환하여 취급합니다. 적분 시정수 T_i와 미분 시정수 T_d는 비례 게인과의 비율을 통해 정의합니다.

T_{i} = \frac{K_{p}}{K_{i,T d}} = \frac{K_{d}}{K_{p}}

(2)

식 (2)에서 적분 시정수 T_i는 비례 동작에 의한 출력과 동일한 크기의 제어 입력을 적분 동작이 축적하는 데 소요되는 시간을 의미합니다. 미분 시정수 T_d는 오차의 변화율에 의한 미분 동작 출력이 비례 동작 출력에 도달하는 유효 예측 시간을 나타내고 있습니다. 이러한 시정수 정의를 대입하여 비례 게인 K_p를 전체 전달함수의 공통 계수로 묶어낸 형태가 표준형 제어기입니다.

C_{std} (s) = K_{p} \cdot (1 + \frac{1}{(T_{i} \cdot s)} + T_{d} \cdot s)

(3)

식 (3)의 표준형 구조에서는 비례 게인 K_p가 전체 루프 이득을 결정하는 역할을 수행합니다. 비례 게인 K_p를 변경하더라도 T_i와 T_d에 의해 결정되는 영점의 주파수 위치가 보존되므로, 이득 여유와 위상 여유를 조정할 때 제어기 영점의 간섭을 최소화할 수 있는 장점을 제공합니다.

표준형과 직렬형 시정수의 상호 변환 관계식

산업용 아날로그 회로나 제어기 구현 환경에서는 상호작용형 구조로 불리는 직렬형 제어기 형태를 널리 활용합니다. 직렬형 제어기는 1차 지연 위상 지상 필터와 1차 진상 필터의 직렬 결합으로 구성되어 수학적으로 두 개의 1차 전달함수 곱으로 표현합니다.

C_{series} (s) = K_{ps} \cdot (1 + \frac{1}{(T_{is} \cdot s)}) \cdot (1 + T_{ds} \cdot s)

(4)

식 (4)에서 K_ps는 직렬형 비례 게인이며, T_is는 직렬형 적분 시정수, T_ds는 직렬형 미분 시정수입니다. 식 (4)의 괄호를 전개하여 통분하면 표준형 제어기와 동일한 2차 전달함수 형태로 정리할 수 있습니다.

C_{series} (s) = K_{ps} \cdot (1 + \frac{T_{ds}}{T_{is}}) \cdot (1 + \frac{1}{((T_{is} + T_{ds}) \cdot s)} + \frac{T_{is} \cdot T_{ds}}{(T_{is} + T_{ds})} \cdot s)

(5)

식 (5)와 식 (3)의 계수를 항별로 비교하면 직렬형 파라미터를 표준형 파라미터로 변환하는 상호 변환 관계식을 도출할 수 있습니다.

K_{p} = K_{ps} \cdot (1 + \frac{T_{ds}}{T_{is}}), T_{i} = T_{is} + T_{ds,T d} = \frac{(T_{is} \cdot T_{ds})}{(T_{is} + T_{ds})}

(6)

식 (6)에서 확인할 수 있듯이 직렬형 구조에서는 두 시정수의 상호 간섭으로 인하여 유효 적분 시정수 T_i는 두 시정수의 합으로 증가하고, 유효 미분 시정수 T_d는 병렬 저항 합성 형태로 감소합니다. 반대로 표준형 제어기를 직렬형 제어기로 변환하려면 분자의 2차 다항식이 실수축에서 분리되어야 하므로 판별식 조건이 성립해야 합니다.

T_{i} \geq 4 \cdot T_{d}

(7)

식 (7)의 조건이 만족될 때에만 표준형 제어기를 실수 극점을 갖는 직렬형 제어기로 정확하게 변환할 수 있습니다. 조건이 충족되면 직렬형 시정수는 2차 방정식의 근으로 계산할 수 있습니다.

T_{is} = \frac{T_{i}}{2} \cdot (1 + \sqrt{1 - \frac{4 \cdot T_{d}}{T_{i}}}), T_{ds} = \frac{T_{i}}{2} \cdot (1 - \sqrt{1 - \frac{4 \cdot T_{d}}{T_{i}}})

(8)

식 (8)을 통해 표준형으로 설계된 제어 파라미터를 직렬형 구조를 채택한 하드웨어나 라이브러리에 정확하게 이식할 수 있습니다.

다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.

PID 제어기 구조에 따른 적분과 미분 시정수 정의

표준형과 직렬형 시정수의 상호 변환 관계식

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