이 글은 외란에 의한 정상상태 오차, 1MW 계통 안정화 외란 전달함수 계산 시리즈의 2편입니다. 앞 편에 이어 1MW 계통 안정화 시스템의 외란 오차 수치 계산 예제, 적분 작용과 전향 보상을 통한 외란 오차 제거 원리, 맺음말을 설명합니다.
1MW 계통 안정화 시스템의 외란 오차 수치 계산 예제
1MW(1000kW) 정격 용량을 갖는 계통 안정화 전력 제어 시스템을 대상으로 실제 정상상태 오차를 계산합니다. 플랜트의 응답은 시정수 τ가 0.05초(50ms)이고 직류 이득 K_plant가 1.0인 1차 지연 시스템으로 모델링합니다. 비례 제어기의 게인 K_p를 10으로 설정합니다.
계통에 대규모 부하가 급격히 접속되어 1MW 정격 용량의 10%에 해당하는 100kW의 계단 외란(D_0 = 100kW)이 플랜트 입력단에 유입되는 상황을 해석합니다. 1편의 식 (6)의 정상상태 오차 유도 공식을 적용하여 수치를 대입합니다.
계산 결과 외란에 의한 정상상태 오차는 약 -9.09kW로 산출됩니다. 이는 인가된 100kW 외란의 약 9.09%가 상쇄되지 못하고 시스템의 제어 오차로 영구히 잔류함을 의미합니다. 전체 1MW 정격 용량을 기준으로 환산하면 약 0.91%의 정상상태 오차가 지속적으로 유지되는 상태입니다.
만약 비례 게인 K_p를 20으로 두 배 상향 조정하면 분모는 21이 되어 정상상태 오차는 약 -4.76kW(외란의 4.76%)로 감소합니다. 그러나 이 경우에도 오차는 완전히 소거되지 않으며, 제어 대역폭 증가로 인해 계통 공진 주파수와의 결합 위험성이 상승합니다. 따라서 비례 제어 단독으로는 외란에 의한 정상상태 오차를 완벽히 제거할 수 없습니다.
적분 작용과 전향 보상을 통한 외란 오차 제거 원리
비례 제어의 잔류 오차 한계를 극복하기 위해 제어기에 적분 작용을 추가한 비례적분(PI) 제어기를 적용합니다. PI 제어기의 전달함수는 비례 게인 K_p와 적분 게인 K_i를 사용하여 다음과 같이 표현됩니다.
식 (9)의 PI 제어기는 원점(s = 0)에 극점을 가지므로 직류 영역(s 0)에서 제어기 이득이 무한대로 발산합니다. 계단 외란인 식 (10)이 인가될 때 최종값 정리를 다시 적용하여 정상상태 오차를 계산합니다.
식 (11)에서 분자와 분모에 s를 곱하여 s 0의 극한을 취하면 분자는 0이 되고 분모에는 0이 아닌 적분 게인 항인 식 (12)가 남으므로 정상상태 오차는 정확히 0이 됩니다.
즉 적분 작용은 제어 오차의 시간 적분값을 지속적으로 누적하여 외란 크기와 정확히 일치하는 상쇄 제어 입력을 생성함으로써 잔류 오차를 완전히 제거합니다.
추가로 외란 신호를 센서로 직접 측정할 수 있는 구조에서는 피드백 루프의 응답 지연을 방지하기 위해 전향 보상(Feedforward) 제어기를 병렬로 결합합니다. 외란 D(s)에서 제어 입력 U(s)로 직접 연결되는 전향 보상기 G_ff(s)의 전달함수는 외란의 경로를 완전히 상쇄하도록 설계됩니다.
식 (13)의 전향 보상기를 적용하면 외란이 플랜트 출력에 영향을 주기 전에 제어 입력이 즉각적으로 반대 위상의 보상 신호를 주입합니다. 그 결과 계통 안정화 시스템은 과도 상태에서의 출력 변동을 최소화하면서 정상상태 오차를 0으로 유지할 수 있습니다.
맺음말
본 글에서는 1MW 계통 안정화 제어 시스템을 대상으로 폐루프 외란 전달함수를 유도하고 계단 외란 인가 시 발생하는 정상상태 오차를 정량적으로 계산하였습니다. 비례 제어기(K_p = 10)를 단독 적용한 경우 100kW 계단 외란에 대해 약 -9.09kW의 잔류 오차가 발생함을 수식으로 입증하였습니다. 반면 적분 작용을 포함하는 PI 제어기는 직류 이득의 무한대 특성을 통해 정상상태 오차를 0kW로 완전 소거하며, 전향 보상기를 병렬 연계하면 과도 응답 지연 없이 외란을 선제적으로 차단할 수 있음을 확인하였습니다.
실무 계통 안정화 제어기 설계 및 튜닝에서는 다음 사항을 신중하게 고려해야 합니다. 첫째, 적분기 와인드업(Integrator Windup) 방지 대책입니다. 대규모 계통 사고나 순간 전압 강하로 인해 인버터의 전류 제한치(Saturation Limit)에 도달할 경우, 제어 오차가 적분기에 계속 누적되어 계통 복구 후 극심한 오버슈트와 정정 시간 지연이 발생합니다. 따라서 안티 와인드업(Anti-Windup) 알고리즘을 반드시 적용해야 합니다. 둘째, 위상 여유(Phase Margin)와 안정도 마진 확보입니다. 외란 오차를 빠르게 제거하기 위해 적분 게인 K_i를 과도하게 높이면 위상 여유가 45° 미만으로 떨어져 저주파 진동이 유발될 수 있습니다. 셋째, 전향 보상 필터 설계입니다. 센서에서 유입되는 고주파 계통 잡음이 전향 보상기를 통해 제어 입력으로 직접 주입되지 않도록 적절한 저역통과 필터(LPF)를 함께 구성해야 안정적인 계통 운영이 가능합니다.
이것으로 시리즈를 마칩니다. 앞선 편들과 함께 읽으면 전체 흐름을 파악할 수 있습니다.