이 글은 외란에 의한 정상상태 오차, 1MW 계통 안정화 외란 전달함수 계산을 2편으로 나누어 정리한 시리즈의 1편입니다. 이번 편에서는 계통 안정화 제어 시스템과 외란 전달함수의 정의, 비례 제어기 적용 시 외란에 의한 정상상태 오차 유도를 다룹니다.
계통 안정화 제어 시스템과 외란 전달함수의 정의
전력 계통에 연계되어 동작하는 대용량 전력 제어 시스템은 계통 전압 변동, 급격한 부하 변동, 계통 임피던스 변화와 같은 다양한 외란에 지속적으로 노출됩니다. 1MW급 계통 안정화 시스템에서 제어기의 주된 목표는 기준 지령값을 오차 없이 추종하는 것뿐만 아니라, 외부에서 유입되는 외란의 영향을 신속하게 감쇠시키고 정상상태 오차를 허용 범위 이내로 억제하는 것입니다.
제어 대상인 플랜트의 전달함수를 G_p(s)라 하고, 피드백 제어기를 G_c(s)라고 정의합니다. 기준 입력 지령을 R(s), 제어기 출력인 제어 입력을 U(s), 플랜트 입력단에 인가되는 외란을 D(s), 시스템의 최종 출력을 Y(s)라고 설정합니다. 폐루프 제어 시스템에서 플랜트로 들어가는 총 입력은 제어 입력 U(s)와 외란 D(s)의 합으로 구성됩니다. 시스템의 제어 오차 E(s)는 기준 입력 R(s)와 출력 Y(s)의 차이로 정의됩니다.
기준 입력 R(s)가 0인 상태에서 외란 D(s)만이 시스템에 인가될 때, 외란에 대한 오차 전달함수는 폐루프 블록선도 대수학을 통해 유도됩니다.
식 (1)에서 분모의 1 + G_c(s) * G_p(s)는 루프 전달함수 항을 포함하는 폐루프 특성다항식입니다. 외란 D(s)에 대한 시스템 출력 Y(s)의 외란 전달함수 T_d(s)는 다음과 같이 정리됩니다.
식 (2)는 외란이 시스템 출력에 미치는 영향을 나타내는 민감도 함수 구조를 보여줍니다. 계통 안정화 제어 시스템에서 외란 억제 성능을 극대화하려면 외란 전달함수 T_d(s)의 크기를 모든 주파수 대역, 특히 정상상태에 해당하는 직류(0Hz) 영역에서 0에 가깝게 설계해야 합니다.
비례 제어기 적용 시 외란에 의한 정상상태 오차 유도
계통 안정화 시스템에서 부하의 급격한 투입이나 차단은 제어 시스템 관점에서 계단형(Step) 외란으로 모델링됩니다. 시간 영역에서 크기가 D_0인 계단 외란이 인가될 때 라플라스 변환된 외란 입력 D(s)는 다음과 같습니다.
선형 시불변 시스템이 안정할 때, 최종값 정리(Final Value Theorem)를 적용하여 시간 t가 무한대로 갈 때의 정상상태 오차 e_ss를 라플라스 영역에서 직접 계산할 수 있습니다.
가장 단순한 비례(P) 제어기를 적용하는 경우 제어기 전달함수는 상수 게인 K_p로 정의됩니다.
플랜트의 직류 이득을 G_p(0) = K_plant라고 정의합니다. 식 (1)의 오차 전달함수와 식 (3)의 계단 외란을 식 (4)의 최종값 정리에 대입하면 비례 제어 시의 정상상태 오차가 유도됩니다.
식 (6)에서 분모의 루프 이득 항인 식 (7)은 유한한 실수 값을 가집니다.
따라서 비례 제어기만 사용하는 시스템에서는 계단 외란이 인가되었을 때 정상상태 오차가 결코 0이 되지 않고 일정한 잔류 오차(Offset)로 남습니다. 비례 게인 K_p를 무한히 크게 설정하면 식 (6)에 의해 오차를 줄일 수 있으나, 실제 전력 변환 및 계통 연계 시스템에서는 위상 여유가 감소하여 시스템이 불안정해지거나 스위칭 잡음이 증폭되는 한계가 발생합니다.
다음 편에서는 이어지는 내용을 계속 설명합니다.